Resolva os problemas
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial aí: $ y’’ - y = -20 \delta_{3}(t) $ com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares com termos de impulso, que nesse caso é representado pela função delta de Dirac $ \delta_{3}(t) $. Para resolver, vamos precisar entender como resolver equações homogêneas e como lidar com esses impulsos.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, $ y’’ - y = 0 $. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação tem a forma:
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $. Sabemos que:
Substituindo na solução geral:
Também sabemos que:
E usando $ y’(0) = 0 $:
Resolvendo esse sistema, temos $ C_1 = C_2 = \frac{1}{2} $. Então, a solução homogênea fica:
Passo 4
Agora precisamos considerar o termo de impulso $ -20 \delta_{3}(t) $. A função delta de Dirac $ \delta_{3}(t) $ representa um impulso instantâneo em $ t = 3 $. Esse impulso causa uma mudança abrupta na derivada de $ y(t) $ naquele ponto. Para lidar com isso, vamos analisar o comportamento de $ y(t) $ antes e depois de $ t = 3 $.
Passo 5
Para $ t < 3 $, não há impulso, então a solução permanece a mesma da parte homogênea:
Passo 6
Em $ t = 3 $, o impulso $ -20 \delta_{3}(t) $ afeta a derivada de $ y(t) $. Especificamente, há uma descontinuidade na derivada $ y’(t) $. A magnitude dessa descontinuidade é igual ao coeficiente do delta multiplicado por -1:
Isso significa que imediatamente após $ t = 3 $, a derivada $ y’(t) $ diminui em 20 unidades.
Passo 7
Para $ t > 3 $, a equação volta a ser homogênea, $ y’’ - y = 0 $, mas com condições iniciais ajustadas devido ao impulso. Precisamos ajustar $ y(3) $ e $ y’(3) $:
Agora, resolvemos a equação homogênea para $ t > 3 $ com essas novas condições iniciais.
Passo 8
A solução para $ t > 3 $ será novamente da forma:
Usamos as condições em $ t = 3 $ para encontrar $ D_1 $ e $ D_2 $:
Resolvendo esse sistema, encontramos $ D_1 $ e $ D_2 $.
Passo 9
Após resolver o sistema, obtemos os valores de $ D_1 $ e $ D_2 $, e assim temos a solução completa para $ t > 3 $. A solução final é uma função por partes que descreve $ y(t) $ para $ t < 3 $ e $ t > 3 $, levando em conta o impulso no instante $ t = 3 $.
Resposta
A solução da equação diferencial é dada por: