Resolva os problemas
y^prime prime-y=-20 de;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial aí: $ y’’ - y = -20 \delta_{3}(t) $ com as condições iniciais $ y(0) = 1 $ e $ y’(0) = 0 $. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais lineares com termos de impulso, que nesse caso é representado pela função delta de Dirac $ \delta_{3}(t) $. Para resolver, vamos precisar entender como resolver equações homogêneas e como lidar com esses impulsos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, $ y’’ - y = 0 $. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação tem a forma:
y'' - y = 0
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $. Sabemos que:
C1
Substituindo na solução geral:
C2
y(0) = 1
Também sabemos que:
1 = C1 e^0 + C2 e^0
E usando $ y’(0) = 0 $:
1 = C1 + C2
Resolvendo esse sistema, temos $ C_1 = C_2 = \frac{1}{2} $. Então, a solução homogênea fica:
y'(t) = C1 e^t - C2 e^-t

Passo 4

Agora precisamos considerar o termo de impulso $ -20 \delta_{3}(t) $. A função delta de Dirac $ \delta_{3}(t) $ representa um impulso instantâneo em $ t = 3 $. Esse impulso causa uma mudança abrupta na derivada de $ y(t) $ naquele ponto. Para lidar com isso, vamos analisar o comportamento de $ y(t) $ antes e depois de $ t = 3 $.

Passo 5

Para $ t < 3 $, não há impulso, então a solução permanece a mesma da parte homogênea:
t < 3

Passo 6

Em $ t = 3 $, o impulso $ -20 \delta_{3}(t) $ afeta a derivada de $ y(t) $. Especificamente, há uma descontinuidade na derivada $ y’(t) $. A magnitude dessa descontinuidade é igual ao coeficiente do delta multiplicado por -1:
t = 3
Isso significa que imediatamente após $ t = 3 $, a derivada $ y’(t) $ diminui em 20 unidades.

Passo 7

Para $ t > 3 $, a equação volta a ser homogênea, $ y’’ - y = 0 $, mas com condições iniciais ajustadas devido ao impulso. Precisamos ajustar $ y(3) $ e $ y’(3) $:
t > 3
y'' - y = 0
Agora, resolvemos a equação homogênea para $ t > 3 $ com essas novas condições iniciais.

Passo 8

A solução para $ t > 3 $ será novamente da forma:
t > 3
Usamos as condições em $ t = 3 $ para encontrar $ D_1 $ e $ D_2 $:
y(t) = D1 e^t + D2 e^-t
t = 3
Resolvendo esse sistema, encontramos $ D_1 $ e $ D_2 $.

Passo 9

Após resolver o sistema, obtemos os valores de $ D_1 $ e $ D_2 $, e assim temos a solução completa para $ t > 3 $. A solução final é uma função por partes que descreve $ y(t) $ para $ t < 3 $ e $ t > 3 $, levando em conta o impulso no instante $ t = 3 $.

Resposta

A solução da equação diferencial é dada por:
y(t) = 12 e^t + 12 e^-t & para t < 3, 12 e^t + 12 e^-t + ( 12 e^3 - 12 e^-3 - 20 ) e^t-3 & para t >= 3

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