Resolva os PVIs usando Transformada de Laplace:
x^prime prime+16 x=cos (4 t), x(0)=0, x^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado dá uma EDO não homogênea de segunda ordem
Temos
x''(t) + 16,x(t) = cos(4t), x(0)=0, ; x'(0)=1,
o conteúdo é Transformada de Laplace: vamos definir X(s)= Lx(t) e usar as fórmulas básicas para x'' e cos(4t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Usando
Lx''(t) = s^2 X(s) - s,x(0) - x'(0),
L16x(t) = 16X(s),
Lcos(4t) = ss^2 + 16,
e substituindo x(0)=0 e x'(0)=1 obtemos
s^2 X(s) - 1 + 16X(s) = ss^2 + 16
Agrupando,
(s^2 + 16),X(s) = 1 + ss^2 + 16

Passo 3

Isolamos X(s):
X(s) = 1s^2 + 16 + s(s^2 + 16)^2

Passo 4

Fazendo a inversa de Laplace: usamos
L^-1gl1s^2 + 16gr = sin(4t)4,
L^-1gls(s^2 + 16)^2gr = t,sin(4t)8
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x(t) = sin(4t)4 + t,sin(4t)8 = l(tfrac14 + tfract8r)sin(4t)

Resposta

x(t)=sin(4t)4+tsin(4t)8

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