Encontre o volume máximo para uma caixa retangular sem tampa, feita a partir de um pedaço de papelão quadrado de lado
cortando quadrados de lado
nos quatro cantos e dobrando as abas resultantes. (Resolução https://youtu.be/MmLao2_v3Js)
Passo 1
Nesse exercício, temos um pedaço de papelão quadrado de lado
e queremos construir uma caixa sem tampa cortando quadrados de lado
nos quatro cantos e dobrando as abas. O conteúdo é otimização de funções usando derivadas para achar o volume máximo.
Passo 2
Depois de cortar os quadrados, a caixa terá altura
e base quadrada com lado
. Assim, a função volume em função de
é:
Passo 3
Precisamos definir o domínio de
. Como os quadradinhos não podem ultrapassar o lado do papelão,
deve satisfazer
.
Passo 4
Para encontrar o máximo, calculamos a derivada de
. Dado
a derivada é
Passo 5
A condição de extremum é
, o que dá
(que leva a volume zero) ou
, de onde
.
Passo 6
Checamos os valores no domínio: em
e
o volume é zero, e em
temos
Portanto, o volume máximo é
Resposta
O volume máximo é
, obtido para