Encontre o volume máximo para uma caixa retangular sem tampa, feita a partir de um pedaço de papelão quadrado de lado 3 m cortando quadrados de lado x nos quatro cantos e dobrando as abas resultantes. (Resolução https://youtu.be/MmLao2_v3Js)

Passo 1

Nesse exercício, temos um pedaço de papelão quadrado de lado 3,m e queremos construir uma caixa sem tampa cortando quadrados de lado x nos quatro cantos e dobrando as abas. O conteúdo é otimização de funções usando derivadas para achar o volume máximo.

Passo 2

Depois de cortar os quadrados, a caixa terá altura x e base quadrada com lado 3-2x. Assim, a função volume em função de x é:
V(x)=x,(3-2x)^2

Passo 3

Precisamos definir o domínio de x. Como os quadradinhos não podem ultrapassar o lado do papelão, x deve satisfazer 0.

Passo 4

Para encontrar o máximo, calculamos a derivada de V(x). Dado
V(x)=x,(3-2x)^2,
a derivada é
V'(x)=(3-2x)^2 + xcdot 2(3-2x)cdot(-2) Simplificando, fica V'(x)=(3-2x)(3-6x).

Passo 5

A condição de extremum é V'(x)=0, o que dá 3-2x=0 (que leva a volume zero) ou 3-6x=0, de onde x=tfrac12.

Passo 6

Checamos os valores no domínio: em x=0 e x=tfrac32 o volume é zero, e em x=tfrac12 temos
Vl(tfrac12r)=tfrac12,(3-1)^2=2
Portanto, o volume máximo é 2,m^3.

Resposta

O volume máximo é 2,m^3, obtido para x=0,5,m

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