Faça o esboço do gráfico de cada função:
f(x)=41+x^2

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de f(x)=41+x^2. Precisamos então analisar domínio, simetria, limites em infinitos, derivadas (primeira e segunda) para entender monotonia, concavidade e pontos notáveis.

Passo 2

O domínio de f é R pois 1+x^2>0 para todo x. Além disso, f(-x)=f(x), então a função é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y.

Passo 3

Calculamos os limites em infinito para verificar assíntotas horizontais:
limxtopminfty 41+x^2 = 0
Logo, a reta y=0 é assíntota horizontal.

Passo 4

Determinamos a primeira derivada para estudar a monotonicidade:
f'(x) = ddxl(41+x^2r) = -8x(1+x^2)^2
Analisando o sinal de f'(x): é positivo para x<0 e negativo para x>0. Assim, f cresce em (0,infty) e decresce em x=0, com ponto crítico em que é um máximo local.

Passo 5

Usamos a segunda derivada para encontrar concavidade e pontos de inflexão:
f''(x) = 8,3x^2 -1(1+x^2)^3
Observe que f''(x)<0 se |x| (concavidade para baixo) e f''(x)>0 se |x|>tfrac1raiz3 (concavidade para cima). Portanto, há pontos de inflexão em x=pmtfrac1raiz3, onde fl(pmtfrac1raiz3r)=3.

Passo 6

Listamos alguns pontos notáveis: (0,4), (pm1,2), (pm2,tfrac45) e (pmtfrac1raiz3,3). Com todas essas informações, esboçamos o gráfico: uma curva em forma de sino, simétrica, pico em (0,4) e aproximando-se de y=0 como assíntota horizontal.

Resposta

O gráfico de f(x)=tfrac41+x^2 é uma curva suave em forma de sino, simétrica em relação ao eixo y, com máximo em (0,4), crescente para x<0 e decrescente para x>0, assíntota horizontal em y=0, concavidade para baixo em |x|<1/raiz3 e para cima em |x|>1/raiz3, passando por pontos como (1,2), (2,0.8) e (pm1/raiz3,3).

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