Calcule a integral.
integral cot ^5 theta sin ^4 theta d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral cot^5theta,sin^4theta,dtheta. O conteúdo aqui envolve manipular identidades trigonométricas e usar substituição de variável para reduzir a integral a um polinômio em u. Precisaremos de cottheta=costhetasintheta e da substituição u=sintheta.

Passo 2

Vamos reescrever a integranda em termos de seno e cosseno usando cot^5theta=cos^5thetasin^5theta. Assim,
cot^5theta,sin^4theta = cos^5thetasin^5theta,sin^4theta = cos^5thetasintheta

Passo 3

Perceba que ainda temos cos^5theta. Podemos separar cos^5theta=cos^4thetacdotcostheta e usar a identidade cos^2theta=1-sin^2theta para transformar tudo em função de sintheta:
cos^5thetasintheta = (cos^2theta)^2,costhetasintheta = (1-sin^2theta)^2,costhetasintheta

Passo 4

Agora fazemos a substituição u=sintheta, o que dá du=costheta,dtheta. A integral fica
integral (1-u^2)^2u,du

Passo 5

Expandindo o numerador e dividindo por u obtemos um polinômio:
(1-u^2)^2u = 1-2u^2+u^4u = u^-1-2u+u^3

Passo 6

Agora integramos termo a termo:
integrall(u^-1-2u+u^3r)du = ln|u|-u^2+tfrac14u^4 + C

Passo 7

Por fim, voltamos à variável theta usando u=sintheta.
ln|sintheta|-sin^2theta+tfrac14sin^4theta + C

Resposta

lnl|sinthetar|-sin^2theta+tfrac14sin^4theta + C

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