Encontre o volume da região em forma de cunha delimitada na lateral pelo cilindro
, no topo pelo plano
, e abaixo pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de uma região em forma de cunha que é limitada lateralmente por um cilindro dado, no topo por um plano e na parte de baixo por outro plano. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas para calcular volumes. Vamos precisar entender como definir os limites de integração com base nas equações que delimitam a região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que delimitam a região:
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Cilindro lateral: A equação é $ x = -\cos y $ com $ -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2} $. Isso nos dá a delimitação lateral da região.
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Plano superior: A equação é $ z = -2x $. Esse é o teto da cunha.
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Plano inferior: A equação é $ z = xy $. Esse é o chão da cunha.
Passo 3
Vamos visualizar a região para facilitar. O cilindro $ x = -\cos y $ varia com $ y $ entre $ -\frac{\pi}{2} $ e $ \frac{\pi}{2} $. Para cada $ y $ nesse intervalo, $ x $ é igual a $ -\cos y $. O $ z $ varia entre os valores dados pelos planos inferior e superior: de $ z = xy $ até $ z = -2x $.
Passo 4
Para calcular o volume, vamos configurar uma integral tripla $ \int \int \int dz , dx , dy $ sobre a região delimitada. Primeiro, precisamos determinar os limites de integração para $ z $, depois para $ x $, e por último para $ y $.
Passo 5
Começando com $ z $, ele varia de $ z = xy $ (plano inferior) até $ z = -2x $ (plano superior). Então, os limites para $ z $ são:
Passo 6
Agora, para $ x $. Dado o cilindro $ x = -\cos y $, e assumindo que $ x $ varia de um valor mínimo até $ -\cos y $, precisamos identificar o intervalo de $ x $. Observando que $ x $ está sempre negativo devido ao $ -\cos y $, e considerando que $ y $ varia de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $, podemos concluir que $ x $ varia de $ -1 $ até $ 0 $ (já que $ \cos y $ varia de 0 a 1 nesse intervalo).
Então, os limites para $ x $ são:
Passo 7
Finalmente, para $ y $, já sabemos que ele varia de $ -\frac{\pi}{2} $ até $ \frac{\pi}{2} $.
Passo 8
Agora, juntando tudo, a integral tripla fica:
Passo 9
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integremos em relação a $ z $:
Passo 10
Agora, substituímos na integral dupla:
Passo 11
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 12
Calculando a primeira integral interna:
Sabemos que $ 1 - \cos^2 y = \sin^2 y $ pela identidade trigonométrica.
Passo 13
Calculando a segunda integral interna:
Passo 14
Agora, substituindo de volta na integral de $ y $:
Podemos fatorar $ \sin^2 y $:
Passo 15
Para resolver essa integral, podemos decompor:
A primeira integral é uma integral padrão, e a segunda pode ser resolvida por partes.
Passo 16
Calculando a primeira integral:
Avaliada de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $:
Passo 17
Calculando a segunda integral por partes:
Seja $ u = y $ e $ dv = \sin^2 y , dy $.
Então, $ du = dy $ e $ v = \int \sin^2 y , dy = \frac{y}{2} - \frac{\sin(2y)}{4} $.
Aplicando a integração por partes:
Simplificando e avaliando de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $, percebemos que os termos com $ y \sin(2y) $ e $ \cos(2y) $ anulam devido à simetria.
Então, a integral resulta em:
Passo 18
Agora, substituindo de volta:
Resposta
O volume da região em forma de cunha é: