Encontre o volume da região E limitada pelos parabolóides z=x^2+y^2 e z=36-3 x^2-3 y^2.
(Dica: A primeira parte do exercício consiste em encontrar a intersecção dos parabolóides. Assim, verifica-se que eles se encontram em x^2+y^2=9. A região D é x^2+y^2 <= 9. Em coordenadas cilíndricas, a região é E=(r, theta, z) mid 0 <= theta <= 2 pi, 0 <= r <= 3, r^2 <= z <= 36-3 r^2. O cálculo é feito diretamente usando os limites de integração da região E. A resposta é 162 pi.)

Passo 1

O exercício pede o volume da região E limitada pelos parabolóides z = x² + y² (abre pra cima) e z = 36 – 3(x² + y²) (abre pra baixo). Vamos usar cálculo de volume por integração em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro encontramos a interseção dos dois parabolóides resolvendo x² + y² = 36 – 3(x² + y²), que leva a 4(x² + y²) = 36, ou seja x² + y² = 9. Em coordenadas cilíndricas isso dá r² = 9 → 0 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤ θ ≤ 2π. Para cada (r,θ), z varia de z = r² até z = 36 – 3r².

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas o diferencial de volume é dV = r dz dr dθ. Então o volume é dado por
V = integralθ=0^2π integralr=0^3 integralz=r^2^36 - 3r^2 r , dz , dr , dθ

Passo 4

Agora computamos a integral interna sobre z:
integralz=r^2^36 - 3r^2 r , dz = r l[(36 - 3r^2) - r^2r] = r(36 - 4r^2)

Passo 5

Em seguida integramos em r:
integral0^3 r(36 - 4r^2) , dr = integral0^3 (36r - 4r^3) , dr = l[18r^2 - r^4r]0^3 = (18·9 - 81) = 162 - 81 = 81

Passo 6

Por fim integramos em θ de 0 a 2π:
V = integral0^2π 81 , dθ = 81·2π = 162π

Resposta

162 \pi

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