Encontre o volume da região
limitada pelos parabolóides
e
.
(Dica: A primeira parte do exercício consiste em encontrar a intersecção dos parabolóides. Assim, verifica-se que eles se encontram em
. A região
é
. Em coordenadas cilíndricas, a região é
. O cálculo é feito diretamente usando os limites de integração da região
. A resposta é
.)
(Dica: A primeira parte do exercício consiste em encontrar a intersecção dos parabolóides. Assim, verifica-se que eles se encontram em
Passo 1
O exercício pede o volume da região E limitada pelos parabolóides z = x² + y² (abre pra cima) e z = 36 – 3(x² + y²) (abre pra baixo). Vamos usar cálculo de volume por integração em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro encontramos a interseção dos dois parabolóides resolvendo x² + y² = 36 – 3(x² + y²), que leva a 4(x² + y²) = 36, ou seja x² + y² = 9. Em coordenadas cilíndricas isso dá r² = 9 → 0 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤ θ ≤ 2π. Para cada (r,θ), z varia de z = r² até z = 36 – 3r².
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas o diferencial de volume é dV = r dz dr dθ. Então o volume é dado por
Passo 4
Agora computamos a integral interna sobre z:
Passo 5
Em seguida integramos em r:
Passo 6
Por fim integramos em θ de 0 a 2π:
Resposta
162 \pi