Se uma função contínua de uma variável tem exatamente um extremo relativo em um intervalo, então esse extremo relativo é um extremo absoluto no intervalo. Este exercício mostra que esse resultado não se estende a funções de duas variáveis.
Mostre que f(x, y)=3 x e^y-x^3-e^3 y tem apenas um ponto crítico e que um máximo relativo ocorre lá.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função de duas variáveis f(x,y)=3x e^y - x^3 - e^3y tem exatamente um ponto crítico e que ali ocorre um máximo relativo. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para encontrar o ponto crítico e o teste do Hessiano para classificar esse ponto.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f:
A derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x=3e^y-3x^2
A derivada parcial em relação a y é
partial fpartial y=3x e^y -3e^3y
Ponto crítico acontece quando ambas são zero.

Passo 3

Agora resolvemos o sistema
3e^y -3x^2=0,
3xe^y -3e^3y=0
Da primeira vem e^y = x^2. Da segunda fatoramos 3e^y(x-e^2y)=0, logo x=e^2y. Substituindo x=e^2y em e^y = x^2
e^y = e^4y implies e^y(e^3y-1)=0 implies e^3y=1 implies y=0
Então x=e^2cdot0=1. É o único ponto crítico: (1,0).

Passo 4

Para classificar esse ponto usamos o Hessiano. As segundas derivadas são:
partial^2 fpartial x^2=-6x,
partial^2 fpartial xpartial y=3e^y,
partial^2 fpartial y^2=3xe^y-9e^3y
Avalia em (1,0):
fxx=-6, fxy=3, fyy=-6

Passo 5

O Hessiano em (1,0) é a matriz
H=-6 & 33 & -6
Calculamos os menores principais:
  • Primeiro menor D1 = fxx = -6 <0.
  • Determinante D2 = (-6)(-6)-3^2 =36-9=27>0
Como D1<0 e D2>0, o Hessiano é definido negativo e o ponto é um máximo relativo.

Passo 6

Concluímos que existe exatamente um ponto crítico em (1,0) e que ali ocorre um máximo relativo de f.

Resposta

O único ponto crítico é (1,0) e corresponde a um máximo relativo.

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