Se uma função contínua de uma variável tem exatamente um extremo relativo em um intervalo, então esse extremo relativo é um extremo absoluto no intervalo. Este exercício mostra que esse resultado não se estende a funções de duas variáveis.
Mostre que
tem apenas um ponto crítico e que um máximo relativo ocorre lá.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função de duas variáveis
tem exatamente um ponto crítico e que ali ocorre um máximo relativo. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para encontrar o ponto crítico e o teste do Hessiano para classificar esse ponto.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
:
A derivada parcial em relação a
é
A derivada parcial em relação a
é
Ponto crítico acontece quando ambas são zero.
Passo 3
Agora resolvemos o sistema
Da primeira vem
. Da segunda fatoramos
, logo
. Substituindo
em
dá
Então
. É o único ponto crítico:
.
Passo 4
Para classificar esse ponto usamos o Hessiano. As segundas derivadas são:
Avalia em
:
Passo 5
O Hessiano em
é a matriz
Calculamos os menores principais:
- Primeiro menor
. - Determinante
Como
e
, o Hessiano é definido negativo e o ponto é um máximo relativo.
Passo 6
Concluímos que existe exatamente um ponto crítico em
e que ali ocorre um máximo relativo de
.
Resposta
O único ponto crítico é (1,0) e corresponde a um máximo relativo.