Encontre o volume da regiio delimitada superiormente pelo plano z=y / 2 e inferiormente pelo retingulo R: 0 \leq x \leq 4, 0 \leq y \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o volume da região que está acima do retângulo R no plano xy e abaixo do plano z=\dfrac{y}{2}. As informações dadas são:
  • O plano superior é z=\dfrac{y}{2}.
  • O retângulo base é R:\\\ 0 \leq x \leq 4,\\\ 0 \leq y \leq 2.
    A pergunta concreta é: qual é o volume da região entre a superfície z=\dfrac{y}{2} e o plano z=0 sobre a área do retângulo R (ou seja, o volume sob a superfície sobre R)?

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado de forma direta): o volume sob uma superfície z=f(x,y) sobre uma região R do plano xy é dado pela integral dupla
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui dA representa um pedaço infinitesimal de área no plano xy (pense em pequenos retângulos de lados dx e dy, então dA=dx\,dy ou dy\,dx). A ideia é somar a “altura” f(x,y) vezes cada pequeno pedaço de área sobre toda a região R. Para um retângulo os limites da integral iterada são constantes, o que facilita muito os cálculos.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema:
  • A função altura é f(x,y)=\dfrac{y}{2}.
  • A região é o retângulo R=\{(x,y)\mid 0\le x\le4,\\\ 0\le y\le2\}.
Portanto podemos escrever o volume como uma integral iterada. Escolho integrar primeiro em y e depois em x (qualquer ordem funciona aqui):
V=\int_{x=0}^{4}\left(\int_{y=0}^{2} \frac{y}{2}\,dy\right)dx.
Expliquei os limites: para cada x fixo entre 0 e 4 varremos y de 0 a 2, acumulando a altura \dfrac{y}{2}.

Passo 4

Calcule a integral interna em y:
\int_{y=0}^{2}\frac{y}{2}\,dy = \frac{1}{2}\int_{0}^{2} y\,dy.
A primitiva de y é \dfrac{y^{2}}{2}, então
\frac{1}{2}\int_{0}^{2} y\,dy = \frac{1}{2}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2^{2}-0^{2}}{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{2} = \frac{1}{2}\cdot 2 = 1.
Logo a integral interna vale 1.

Passo 5

Agora a integral externa em x fica simples:
V=\int_{x=0}^{4} 1 \,dx = [x]_{0}^{4} = 4-0 = 4.
Portanto o volume é 4 (unidades cúbicas).

Passo 6

Checagem rápida por outro caminho (pra ficar seguro e ver que dá igual): integrar primeiro em x
V=\int_{y=0}^{2}\left(\int_{x=0}^{4}\frac{y}{2}\,dx\right)dy.
Dentro, \int_{0}^{4}\frac{y}{2}\,dx = \frac{y}{2}\cdot 4 = 2y. Depois
\int_{0}^{2} 2y\,dy = 2\cdot\frac{y^{2}}{2}\Big|_{0}^{2} = y^{2}\Big|_{0}^{2}=4,
mesmo resultado. Bom sinal!

Passo 7

Dica de prova: quando a base é um retângulo e a altura é uma função simples de x e y, sempre pense em escrever V=\iint_R f(x,y)\,dA e escolha a ordem de integração que deixa a conta direta. Aqui a função dependia só de y, então integrar em y primeiro ou em x primeiro é imediato.

Resposta

V=4

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