Encontre o volume da regiio delimitada superiormente pelo plano z=y / 2 e inferiormente pelo retingulo R: 0 \leq x \leq 4, 0 \leq y \leq 2.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o volume da região que está acima do retângulo R no plano xy e abaixo do plano z=\dfrac{y}{2}. As informações dadas são:
O plano superior é z=\dfrac{y}{2}.
O retângulo base é R:\\\ 0 \leq x \leq 4,\\\ 0 \leq y \leq 2.
A pergunta concreta é: qual é o volume da região entre a superfície z=\dfrac{y}{2} e o plano z=0 sobre a área do retângulo R (ou seja, o volume sob a superfície sobre R)?
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado de forma direta): o volume sob uma superfície z=f(x,y) sobre uma região R do plano xy é dado pela integral dupla
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui dA representa um pedaço infinitesimal de área no plano xy (pense em pequenos retângulos de lados dx e dy, então dA=dx\,dy ou dy\,dx). A ideia é somar a “altura” f(x,y) vezes cada pequeno pedaço de área sobre toda a região R. Para um retângulo os limites da integral iterada são constantes, o que facilita muito os cálculos.
Passo 3
Aplicando ao nosso problema:
A função altura é f(x,y)=\dfrac{y}{2}.
A região é o retângulo R=\{(x,y)\mid 0\le x\le4,\\\ 0\le y\le2\}.
Portanto podemos escrever o volume como uma integral iterada. Escolho integrar primeiro em y e depois em x (qualquer ordem funciona aqui):
Dica de prova: quando a base é um retângulo e a altura é uma função simples de x e y, sempre pense em escrever V=\iint_R f(x,y)\,dA e escolha a ordem de integração que deixa a conta direta. Aqui a função dependia só de y, então integrar em y primeiro ou em x primeiro é imediato.