Encontre o volume da regilio delimitada superiomente pelo plano z=2-x-y e inferiomente pelo quadrado R: 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está acima do quadrado base
R: \; 0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le 1
no plano z=0 (o plano xy) e abaixo do plano superior
z = 2 - x - y.
Informações dadas:
  • A superfície superior é a função altura z=2-x-y.
  • A região base é o quadrado R no plano xy com lados de comprimento 1.
    A pergunta é: qual é o volume desse sólido?

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (explicada devagarinho).
  • Geometricamente, o volume de um sólido que fica acima de uma região R no plano xy e abaixo de uma superfície z=f(x,y) é dado pela integral dupla
V=\iint_{R} f(x,y)\,dA,
desde que f(x,y)\ge 0 em R. Aqui dA representa um elemento de área no plano xy (um retângulo infinitesimal de lados dx e dy).
  • No nosso caso a função altura é
f(x,y)=2-x-y.
Antes de integrar, checamos se f(x,y)\ge 0 no quadrado R. Nos vértices:
f(0,0)=2,\quad f(1,0)=1,\quad f(0,1)=1,\quad f(1,1)=0,
logo f varia entre 0 e 2 em R, sendo não-negativa. Então a fórmula do volume vale sem problemas.

Passo 3

Montagem da integral; escolha de ordem de integração.
Usando integração iterada (Teorema de Fubini) podemos escrever
V=\iint_{R} (2-x-y)\,dA = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{1} (2-x-y)\,dy\,dx.
Escolhi integrar primeiro em y (ordem dy\,dx) porque os limites em y são constantes ( 0 a 1), o que torna a conta direta. Poderíamos trocar a ordem sem alteração do resultado.

Passo 4

Calcular a integral interior em y.
Tomamos a primitiva da função em relação a y, tratando x como constante:
\int_{y=0}^{1} (2-x-y)\,dy = \Big[2y - xy - \tfrac{1}{2}y^{2}\Big]_{0}^{1}.
Agora avaliamos nos limites y=1 e y=0:
2(1) - x(1) - \tfrac{1}{2}(1)^{2} - \big(0\big) = 2 - x - \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2} - x.
Portanto a integral interna resultou em \tfrac{3}{2}-x.

Passo 5

Calcular a integral exterior em x.
Agora integramos em x de 0 a 1:
V = \int_{0}^{1} \Big(\tfrac{3}{2}-x\Big)\,dx.
Encontramos a primitiva em x:
\int \Big(\tfrac{3}{2}-x\Big)\,dx = \tfrac{3}{2}x - \tfrac{1}{2}x^{2}.
Avaliação nos limites 0 e 1:
V = \Big[\tfrac{3}{2}x - \tfrac{1}{2}x^{2}\Big]_{0}^{1} = \left(\tfrac{3}{2}\cdot 1 - \tfrac{1}{2}\cdot 1^{2}\right) - 0 = \tfrac{3}{2} - \tfrac{1}{2} = 1.

Passo 6

Interpretação rápida e verificação intuitiva.
  • O quadrado R tem área 1. A integral dupla \iint_R f(x,y)\,dA dá a soma (integral) das alturas. Como a integral deu 1, a “altura média” sobre R é 1 (porque área é 1).
  • Confere com os valores: a altura varia entre 0 e 2 de forma linear, então um volume de 1 é razoável.

Resposta

V=1

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