Encontre o volume da regilio delimitada superiomente pelo plano
e inferiomente pelo quadrado
,
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que está acima do quadrado base
no plano
(o plano
) e abaixo do plano superior
Informações dadas:
- A superfície superior é a função altura
. - A região base é o quadrado
no plano com lados de comprimento .
A pergunta é: qual é o volume desse sólido?
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (explicada devagarinho).
- Geometricamente, o volume de um sólido que fica acima de uma região
no plano e abaixo de uma superfície é dado pela integral dupla
desde que
em
. Aqui
representa um elemento de área no plano
(um retângulo infinitesimal de lados
e
).
- No nosso caso a função altura é
Antes de integrar, checamos se
no quadrado
. Nos vértices:
logo
varia entre
e
em
, sendo não-negativa. Então a fórmula do volume vale sem problemas.
Passo 3
Montagem da integral; escolha de ordem de integração.
Usando integração iterada (Teorema de Fubini) podemos escrever
Usando integração iterada (Teorema de Fubini) podemos escrever
Escolhi integrar primeiro em
(ordem
) porque os limites em
são constantes (
a
), o que torna a conta direta. Poderíamos trocar a ordem sem alteração do resultado.
Passo 4
Calcular a integral interior em
.
Tomamos a primitiva da função em relação a , tratando
como constante:
Tomamos a primitiva da função em relação a
Agora avaliamos nos limites
e
:
Portanto a integral interna resultou em
.
Passo 5
Calcular a integral exterior em
.
Agora integramos em de
a
:
Agora integramos em
Encontramos a primitiva em
:
Avaliação nos limites
e
:
Passo 6
Interpretação rápida e verificação intuitiva.
- O quadrado
tem área . A integral dupla dá a soma (integral) das alturas. Como a integral deu , a “altura média” sobre é (porque área é ). - Confere com os valores: a altura varia entre
e de forma linear, então um volume de é razoável.