Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral dupla
Informações dadas:
- A região
é o retângulo . - A integral é sobre as variáveis
e , com implicando (ou ).
Observação importante (ambiguidade): o integrando contém o símbolo, mas a região está em termos de e . Vou assumir que houve um pequeno erro de digitação e que o integrando pretendido é (ou seja, a letra era para ser a constante base do logaritmo natural ). Essa interpretação é natural porque leva a uma integral clássica e elementar. Seguirei a solução sob essa hipótese.
Passo 2
Estratégia e justificativa teórica (passo-a-passo didático):
- Se a função integranda for contínua no retângulo
, podemos usar o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla em uma integral iterada. Aqui a função é contínua em , logo podemos escrever
conforme for mais conveniente.
- Observação útil para a resolução na prova: a função é separável entre
e no sentido multiplicativo:
Isto permite escrever a integral dupla como produto de uma integral em
e outra em
:
Essa separação é um truque muito útil em provas: sempre procure fatorizar a integranda quando possível — facilita muito os cálculos.
Passo 3
Cálculo da integral em
:
- A antiderivada de
é . Então
Explicando devagar: integrar
é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente; isso é a regra básica das integrais de potências.
Passo 4
Cálculo da integral em
:
- Queremos
. - Técnica: substituição (método padrão para integrais com
multiplicando uma função de ).
Faça. Então , ou seja . - Substituindo na integral:
- A antiderivada de
é . Portanto
Dica de prova: na hora da prova, memorize que
— é uma antiderivada rápida de reconhecer se ver o padrão
.
Passo 5
Combinação dos resultados:
- Multiplicando o resultado do Passo 3 pelo do Passo 4:
Comentário final (ânimo): resultado simples e elegante — geralmente uma ótima sensação na prova quando você percebe que a integral separa direitinho!
Passo 6
Observação sobre a ambiguidade original: se a letra
do enunciado fosse, na verdade, uma variável diferente (por exemplo
), o integrando seria
e a integral se transformaria em
que não tem primitive elementar simples; nesse caso o melhor é deixar a resposta em forma de integral ou recorrer a métodos numéricos. Por isso a interpretação
(como base da exponencial) produz um problema resolvível de forma elementar e é a hipótese adotada para a solução acima.