\iint_{R} x y v^{v^{2}} d A, \quad R: 0 \leq x \leq 2, \quad 0 \leq y \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\iint_{R} x\,y\,v^{v^{2}}\,dA, \qquad R:\;0\le x\le2,\;0\le y\le1.
Informações dadas:
  • A região R é o retângulo \{(x,y)\mid 0\le x\le2,\;0\le y\le1\}.
  • A integral é sobre as variáveis x e y, com dA implicando dx\,dy (ou dy\,dx).
    Observação importante (ambiguidade): o integrando contém o símbolo v, mas a região está em termos de x e y. Vou assumir que houve um pequeno erro de digitação e que o integrando pretendido é x\,y\,e^{y^{2}} (ou seja, a letra v era para ser a constante base do logaritmo natural e). Essa interpretação é natural porque leva a uma integral clássica e elementar. Seguirei a solução sob essa hipótese.

Passo 2

Estratégia e justificativa teórica (passo-a-passo didático):
  • Se a função integranda for contínua no retângulo R, podemos usar o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla em uma integral iterada. Aqui a função x\,y\,e^{y^{2}} é contínua em R, logo podemos escrever
\iint_{R} x\,y\,e^{y^{2}}\,dA = \int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{1} x\,y\,e^{y^{2}}\,dy\,dx = \int_{y=0}^{1}\!\int_{x=0}^{2} x\,y\,e^{y^{2}}\,dx\,dy,
conforme for mais conveniente.
  • Observação útil para a resolução na prova: a função é separável entre x e y no sentido multiplicativo:
x\,y\,e^{y^{2}} = x \cdot \bigl(y\,e^{y^{2}}\bigr).
Isto permite escrever a integral dupla como produto de uma integral em x e outra em y:
\iint_{R} x\,y\,e^{y^{2}}\,dA = \left(\int_{0}^{2} x\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} y\,e^{y^{2}}\,dy\right).
Essa separação é um truque muito útil em provas: sempre procure fatorizar a integranda quando possível — facilita muito os cálculos.

Passo 3

Cálculo da integral em x:
  • A antiderivada de x é \dfrac{x^{2}}{2}. Então
\int_{0}^{2} x\,dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \dfrac{2^{2}}{2}-0 = \dfrac{4}{2}=2.
Explicando devagar: integrar x é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente; isso é a regra básica das integrais de potências.

Passo 4

Cálculo da integral em y:
  • Queremos \displaystyle \int_{0}^{1} y\,e^{y^{2}}\,dy.
  • Técnica: substituição (método padrão para integrais com y multiplicando uma função de y^{2}).
    Faça \displaystyle u = y^{2}. Então \displaystyle du = 2y\,dy, ou seja \displaystyle y\,dy = \dfrac{du}{2}.
  • Substituindo na integral:
\int_{0}^{1} y\,e^{y^{2}}\,dy = \int_{u=0}^{1} e^{u}\cdot \dfrac{du}{2} = \dfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\,du.
  • A antiderivada de e^{u} é e^{u}. Portanto
\dfrac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \dfrac{1}{2}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2}\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr) = \dfrac{1}{2}(e-1).
Dica de prova: na hora da prova, memorize que \int y\,e^{y^{2}}\,dy = \tfrac{1}{2}e^{y^{2}} + C — é uma antiderivada rápida de reconhecer se ver o padrão y\,f(y^{2}).

Passo 5

Combinação dos resultados:
  • Multiplicando o resultado do Passo 3 pelo do Passo 4:
\iint_{R} x\,y\,e^{y^{2}}\,dA = \left(\int_{0}^{2} x\,dx\right)\left(\int_{0}^{1} y\,e^{y^{2}}\,dy\right) = 2\cdot \dfrac{1}{2}(e-1) = e-1.
Comentário final (ânimo): resultado simples e elegante — geralmente uma ótima sensação na prova quando você percebe que a integral separa direitinho!

Passo 6

Observação sobre a ambiguidade original: se a letra v do enunciado fosse, na verdade, uma variável diferente (por exemplo v=y), o integrando seria x\,y\,y^{y^{2}}=x\,y^{y^{2}+1} e a integral se transformaria em
2\int_{0}^{1} y^{y^{2}+1}\,dy,
que não tem primitive elementar simples; nesse caso o melhor é deixar a resposta em forma de integral ou recorrer a métodos numéricos. Por isso a interpretação v=e (como base da exponencial) produz um problema resolvível de forma elementar e é a hipótese adotada para a solução acima.

Resposta

e-1

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