Questão 13. Mostre que a equação da onda não tem princípio de máximo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação da onda não satisfaz o princípio do máximo.
Informações dadas (implícitas na pergunta): quer-se uma demonstração de que não existe, em geral, um princípio do máximo para a equação da onda — isto é, não vale a propriedade “se os dados (inicial e de contorno) são não negativos então a solução permanece não negativa” como ocorre para o calor. Não há outros dados específicos; portanto vou dar um exemplo explícito (contraexemplo) que prova a afirmação.
Informações dadas (implícitas na pergunta): quer-se uma demonstração de que não existe, em geral, um princípio do máximo para a equação da onda — isto é, não vale a propriedade “se os dados (inicial e de contorno) são não negativos então a solução permanece não negativa” como ocorre para o calor. Não há outros dados específicos; portanto vou dar um exemplo explícito (contraexemplo) que prova a afirmação.
Passo 2
O que é exatamente o “princípio do máximo” que estamos refutando? Vou explicar de forma simples e clara.
-
Intuição do princípio do máximo (forma que costuma aparecer para o calor/Poisson): se uma solução tem valores não negativos nas condições iniciais e nas fronteiras do domínio, então a solução permanece não negativa para todos os tempos no interior. Em linguagem curta: máximo (ou mínimo) da solução é alcançado nas condições iniciais/de contorno, nunca no interior.
-
O que precisamos mostrar: existe solução da equação da onda cuja condição inicial e condições de contorno são todas não negativas, mas que em algum tempo futuro a solução toma valores negativos no interior. Isso prova que NÃO existe, em geral, princípio do máximo para a equação da onda.
Passo 3
Vou fixar um problema concreto (1D, corda com condições de Dirichlet) que é suficiente para construir o contraexemplo. Considere a equação da onda unidimensional
no intervalo espacial
para
, com condições de contorno homogêneas de Dirichlet
e condições iniciais
Vou escolher
e
de forma simples e explícita.
Passo 4
Escolha das condições iniciais (esta escolha é clássica e muito simples):
Observações sobre essa escolha:
-
, logo as condições de contorno são satisfeitas inicialmente. - Para
temos . Ou seja, a condição inicial de deslocamento é não negativa (na verdade estritamente positiva no interior); a condição inicial de velocidade é zero (não negativa também).
Portanto todos os dados iniciais e de contorno são não negativos.
Passo 5
Agora obtenho uma solução explícita por separação de variáveis / modos normais. É bem conhecido que uma solução própria (modo normal) da forma
leva, ao substituir na PDE, à equação ordinária
Cancelando o fator espacial não nulo (em
) obtemos
As soluções de
são combinações de
e
. Usando as condições iniciais
e
implica
e
. Assim
Portanto a solução correspondente é
Passo 6
Verificação das condições:
- Para todo
, e . Então as condições de contorno são satisfeitas. - Em
: . Em : . Então as condições iniciais são satisfeitas. - Conclusão:
é uma solução clássica da equação da onda com os dados escolhidos.
Passo 7
Agora mostro que a solução muda de sinal no tempo, apesar dos dados serem não negativos. Calcule
em
. Temos
Logo
Para
isso é estritamente negativo (pois
no interior). Portanto, mesmo tendo
e
e fronteira zero, a solução assume valores negativos no instante
.
Passo 8
Interpretação e conclusão:
- Este exemplo é um contraexemplo direto ao princípio do máximo: teve-se dados iniciais e de contorno não negativos, mas a solução tornou-se negativa num tempo posterior. Portanto não existe, em geral, princípio do máximo para a equação da onda.
- Intuição física: modos normais da corda oscilam com sinal que varia no tempo (fatores
), então um deslocamento inicialmente positivo pode inverter de sinal; essa oscilação é a razão pela qual não há retenção do sinal como no caso do calor, onde a difusão suaviza e impede tais inversões.
Resposta
A equação da onda não satisfaz princípio do máximo. Contraexemplo: na barra
com
,
,
,
, a solução
é positiva em
mas em
vale
para
, mostrando que o princípio do máximo falha.