Questão 13. Mostre que a equação da onda não tem princípio de máximo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação da onda não satisfaz o princípio do máximo.
Informações dadas (implícitas na pergunta): quer-se uma demonstração de que não existe, em geral, um princípio do máximo para a equação da onda — isto é, não vale a propriedade “se os dados (inicial e de contorno) são não negativos então a solução permanece não negativa” como ocorre para o calor. Não há outros dados específicos; portanto vou dar um exemplo explícito (contraexemplo) que prova a afirmação.

Passo 2

O que é exatamente o “princípio do máximo” que estamos refutando? Vou explicar de forma simples e clara.
  • Intuição do princípio do máximo (forma que costuma aparecer para o calor/Poisson): se uma solução tem valores não negativos nas condições iniciais e nas fronteiras do domínio, então a solução permanece não negativa para todos os tempos no interior. Em linguagem curta: máximo (ou mínimo) da solução é alcançado nas condições iniciais/de contorno, nunca no interior.
  • O que precisamos mostrar: existe solução da equação da onda cuja condição inicial e condições de contorno são todas não negativas, mas que em algum tempo futuro a solução toma valores negativos no interior. Isso prova que NÃO existe, em geral, princípio do máximo para a equação da onda.

Passo 3

Vou fixar um problema concreto (1D, corda com condições de Dirichlet) que é suficiente para construir o contraexemplo. Considere a equação da onda unidimensional
u_{tt} = c^{2} u_{xx},
no intervalo espacial (0,L) para t\ge 0, com condições de contorno homogêneas de Dirichlet
u(0,t)=0,\qquad u(L,t)=0\qquad\text{para todo }t\ge 0,
e condições iniciais
u(x,0)=\varphi(x),\qquad u_{t}(x,0)=\psi(x).
Vou escolher \varphi e \psi de forma simples e explícita.

Passo 4

Escolha das condições iniciais (esta escolha é clássica e muito simples):
\varphi(x)=\sin\!\left(\frac{\pi x}{L}\right),\qquad \psi(x)=0.
Observações sobre essa escolha:
  • \varphi(0)=\varphi(L)=0, logo as condições de contorno são satisfeitas inicialmente.
  • Para x\in(0,L) temos \varphi(x)>0. Ou seja, a condição inicial de deslocamento é não negativa (na verdade estritamente positiva no interior); a condição inicial de velocidade é zero (não negativa também).
    Portanto todos os dados iniciais e de contorno são não negativos.

Passo 5

Agora obtenho uma solução explícita por separação de variáveis / modos normais. É bem conhecido que uma solução própria (modo normal) da forma
u(x,t)=\sin\!\left(\frac{\pi x}{L}\right) A(t)
leva, ao substituir na PDE, à equação ordinária
\sin\!\left(\frac{\pi x}{L}\right) A''(t) = c^{2} \left(-\frac{\pi^{2}}{L^{2}}\right) \sin\!\left(\frac{\pi x}{L}\right) A(t).
Cancelando o fator espacial não nulo (em 0<x<L) obtemos
A''(t) + \omega^{2} A(t)=0,\qquad \text{onde }\omega=\frac{c\pi}{L}.
As soluções de A''+\omega^{2}A=0 são combinações de \cos(\omega t) e \sin(\omega t). Usando as condições iniciais u(x,0)=\varphi(x)=\sin(\pi x/L) e u_{t}(x,0)=\psi(x)=0 implica A(0)=1 e A'(0)=0. Assim
A(t)=\cos(\omega t).
Portanto a solução correspondente é
u(x,t)=\sin\!\left(\frac{\pi x}{L}\right)\cos\!\left(\frac{c\pi t}{L}\right).

Passo 6

Verificação das condições:
  • Para todo t, u(0,t)=\sin(0)\cos(\cdots)=0 e u(L,t)=\sin(\pi)\cos(\cdots)=0. Então as condições de contorno são satisfeitas.
  • Em t=0: u(x,0)=\sin(\pi x/L)\cdot 1=\varphi(x). Em t=0: u_{t}(x,0)=-\sin(\pi x/L)\cdot \omega\sin(0)=0=\psi(x). Então as condições iniciais são satisfeitas.
  • Conclusão: u é uma solução clássica da equação da onda com os dados escolhidos.

Passo 7

Agora mostro que a solução muda de sinal no tempo, apesar dos dados serem não negativos. Calcule u em t_{*}=L/c. Temos
\cos\!\left(\frac{c\pi t_{*}}{L}\right)=\cos\!\left(\frac{c\pi}{L}\cdot\frac{L}{c}\right)=\cos(\pi)=-1.
Logo
u(x,t_{*})=\sin\!\left(\frac{\pi x}{L}\right)\cos(\pi)=-\sin\!\left(\frac{\pi x}{L}\right).
Para x\in(0,L) isso é estritamente negativo (pois \sin(\pi x/L)>0 no interior). Portanto, mesmo tendo \varphi(x)\ge 0 e \psi(x)\ge 0 e fronteira zero, a solução assume valores negativos no instante t_{*}=L/c.

Passo 8

Interpretação e conclusão:
  • Este exemplo é um contraexemplo direto ao princípio do máximo: teve-se dados iniciais e de contorno não negativos, mas a solução tornou-se negativa num tempo posterior. Portanto não existe, em geral, princípio do máximo para a equação da onda.
  • Intuição física: modos normais da corda oscilam com sinal que varia no tempo (fatores \cos(\omega t)), então um deslocamento inicialmente positivo pode inverter de sinal; essa oscilação é a razão pela qual não há retenção do sinal como no caso do calor, onde a difusão suaviza e impede tais inversões.

Resposta

A equação da onda não satisfaz princípio do máximo. Contraexemplo: na barra (0,L) com u_{tt}=c^{2}u_{xx}, u(0,t)=u(L,t)=0, u(x,0)=\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right)\ge0, u_{t}(x,0)=0, a solução
u(x,t)=\sin\!\left(\frac{\pi x}{L}\right)\cos\!\left(\frac{c\pi t}{L}\right)
é positiva em t=0 mas em t=L/c vale u(x,L/c)=-\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right)<0 para x\in(0,L), mostrando que o princípio do máximo falha.

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