\left.4^{\mathrm{o}}\right) Se x, y e z representa aplicações nos fundos X, Y e Z, respectivamente, verificou-se que o custo de manutenção é dado pela expressão C(x, y)=6 x^{2}+8 y^{2}+12 z^{2}. Sabendo-se que uma restrição para essa movimentação é x+2 y+3 z=34. Determine:
a) Os valores de aplicação em cada fundo que sejam extremos para C, sujeito a restrição imposta.
b) o custo associado.
c) Podemos afirmar se este custo é máximo ou mínimo?

Passo 1

O enunciado dá a função custo e uma restrição linear. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede.
  • Dado: a função custo é C(x,y,z)=6x^{2}+8y^{2}+12z^{2}.
  • Dado: a restrição entre as variáveis é x+2y+3z=34.
  • Pedidos:
    a) Determinar os valores de x, y e z que tornam C extremo sujeito à restrição.
    b) Calcular o custo associado a esses valores (ou seja, o valor de C em tais x,y,z).
    c) Dizer se esse custo é máximo ou mínimo (ou seja, classificar o tipo de extremo).

Passo 2

Escolha do método e motivação rápida (sem entrar em detalhes técnicos ainda).
  • Temos uma função de três variáveis com uma restrição linear. Uma forma sistemática de encontrar pontos extremos sob uma restrição é usar multiplicadores de Lagrange: isso transforma o problema com restrição em um sistema de equações algébricas (derivadas parciais) que podemos resolver.
  • Outra alternativa seria isolar uma variável pela restrição e reduzir para duas variáveis, mas isso costuma dar contas mais longas e menos simétricas aqui. O método de Lagrange é direto e elegante neste caso.
  • Vou então aplicar o método dos multiplicadores de Lagrange passo a passo e explicar cada equação e cada símbolo usado.

Passo 3

Montar a função de Lagrange e explicar o que é cada termo.
  • Define-se a função de Lagrange \mathcal{L}(x,y,z,\lambda) juntando a função objetivo com a restrição multiplicada por um novo parâmetro \lambda (o multiplicador de Lagrange). Escreve-se:
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=6x^{2}+8y^{2}+12z^{2}-\lambda\bigl(x+2y+3z-34\bigr).
  • Explicação dos símbolos:
    • x,y,z são as variáveis de decisão (valores aplicados em cada fundo).
    • \lambda é o multiplicador de Lagrange; será um número que ajusta a restrição na otimização.
    • O termo -\lambda(x+2y+3z-34) impõe a restrição: em extremos com restrição ativa, as derivadas da Lagrange serão zero.

Passo 4

Escrever as condições de estacionariedade (derivadas parciais iguais a zero) e explicar por que.
  • Para encontrar extremos sujeitos à restrição, exige-se que as derivadas parciais de \mathcal{L} em relação a x, y, z e \lambda sejam zero. Isso gera um sistema de quatro equações:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}=0,\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=0.
  • Cada derivada parcial indica a condição de equilíbrio: variações pequenas em cada variável não devem reduzir (ou aumentar) C mantendo a restrição.

Passo 5

Calcular explicitamente as derivadas parciais e escrever as equações.
  • Calculemos cada derivada:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=12x-\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=16y-2\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}=24z-3\lambda=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(x+2y+3z-34)=0.
  • As primeiras três equações vêm de derivar os termos quadráticos (ex.: derivada de 6x^{2} em relação a x é 12x) e do termo linear em \lambda. A última impõe novamente a restrição x+2y+3z=34.

Passo 6

Isolar x, y, z em função de \lambda.
  • Das três primeiras equações obtemos:
12x-\lambda=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\lambda}{12},
16y-2\lambda=0\quad\Rightarrow\quad y=\frac{2\lambda}{16}=\frac{\lambda}{8},
24z-3\lambda=0\quad\Rightarrow\quad z=\frac{3\lambda}{24}=\frac{\lambda}{8}.
  • Observação: aqui vemos que y e z aparecem iguais em termos de \lambda: y=\dfrac{\lambda}{8} e z=\dfrac{\lambda}{8}.

Passo 7

Usar a restrição para determinar \lambda e, em seguida, x,y,z.
  • Substituindo x, y, z na restrição x+2y+3z=34 temos:
\frac{\lambda}{12}+2\cdot\frac{\lambda}{8}+3\cdot\frac{\lambda}{8}=34.
  • Calcular a soma dos coeficientes:
\frac{1}{12}+\frac{2}{8}+\frac{3}{8}=\frac{1}{12}+\frac{5}{8}=\frac{2}{24}+\frac{15}{24}=\frac{17}{24}.
  • Logo
\frac{17}{24}\lambda=34\quad\Rightarrow\quad \lambda=34\cdot\frac{24}{17}=2\cdot24=48.
  • Agora obter x,y,z:
x=\frac{\lambda}{12}=\frac{48}{12}=4,
y=\frac{\lambda}{8}=\frac{48}{8}=6,
z=\frac{\lambda}{8}=\frac{48}{8}=6.

Passo 8

Calcular o custo associado substituindo em C(x,y,z).
  • Substituir x=4, y=6, z=6 em C(x,y,z)=6x^{2}+8y^{2}+12z^{2}:
C(4,6,6)=6\cdot 4^{2}+8\cdot 6^{2}+12\cdot 6^{2}.
  • Calcular termo a termo:
6\cdot 4^{2}=6\cdot 16=96,
8\cdot 6^{2}=8\cdot 36=288,
12\cdot 6^{2}=12\cdot 36=432.
  • Somando:
C(4,6,6)=96+288+432=816.

Passo 9

Classificar o extremo: máximo ou mínimo? Explicação didática e convincente.
  • Observação sobre a função custo: C(x,y,z)=6x^{2}+8y^{2}+12z^{2} é uma soma de quadrados com coeficientes positivos. Isso significa que a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas) é diagonal com entradas positivas:
\text{Hessiana}=\begin{pmatrix}12 & 0 & 0\\[4pt]0 & 16 & 0\\[4pt]0 & 0 & 24\end{pmatrix},
e essa matriz é definida positiva (todos os autovalores são positivos).
  • Para funções quadráticas com Hessiana definida positiva, a função é estritamente convexa: em termos simples, tem “fundo de tigela” e não tem máximos globais, apenas um mínimo global se não houver restrição. Quando se impõe uma restrição linear (um conjunto afim), a restrição corta essa tigela por uma reta/plano afim; sobre esse conjunto afim a função convexa atinge um mínimo único (mas não um máximo, pois pode-se ir a infinito na direção contrária se não houver restrição que limite).
  • Conclusão: o ponto encontrado é um mínimo (único) de C sujeito à restrição x+2y+3z=34.]

Resposta

a) x=4,\; y=6,\; z=6
b) C(4,6,6)=816
c) O custo é um mínimo (mínimo restrito, único).

Exercícios relacionados