Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região compreendida entre a curva y=x^2-2 x e o eixo dos x, ao redor do eixo das abscissas.

Passo 1

Neste problema queremos o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região entre a curva y = x^2 - 2x e o eixo das abscissas. Esse tipo de questão usa o método dos discos, cuja fórmula geral é
V = pi integrala^b [R(x)]^2,dx
onde R(x) é o raio do disco em cada posição x. Precisamos ainda achar os limites de integração a e b, que vêm das interseções da curva com o eixo x.

Passo 2

Achamos os pontos de interseção resolvendo
x^2 - 2x = 0
que dá x = 0 e x = 2. Observando a parábola, vemos que entre 0 e 2 a curva fica abaixo do eixo x, então a região a girar é a área negativa em relação ao eixo.

Passo 3

Como a curva está abaixo do eixo em [0,2], a distância até o eixo é R(x) = |x^2 - 2x| = -(x^2 - 2x) = 2x - x^2. Logo o volume é
V = pi integral0^2 (2x - x^2)^2,dx

Passo 4

Simplificando o integrando, (2x - x^2)^2 = x^4 - 4x^3 + 4x^2. Então
V = pi integral0^2 (x^4 - 4x^3 + 4x^2),dx
Integramos termo a termo:
integral x^4,dx = x^55, integral -4x^3,dx = -x^4, integral 4x^2,dx = 4x^33

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a 2:
[x^55 - x^4 + 4x^33]0^2 = 325 - 16 + 323 = 96 - 240 + 16015 = 1615

Resposta

16pi15

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