Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada por y=x^2 e y=x+2.

Passo 1

Resumo: Estamos calculando o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por y = x^2 e y = x+2 em torno do eixo dos x. O conteúdo é o método dos discos/aneis (washers) e vamos precisar achar os pontos de interseção, identificar as curvas superior e inferior, montar a integral de volume e calculá-la.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção de y = x^2 e y = x+2 resolvendo x^2 = x + 2, o que leva a x^2 - x - 2 = 0. As raízes são x = 2 e x = -1.

Passo 3

Determinar qual curva está acima na faixa x in [-1,2]. Por exemplo, em x=0 temos y=x^2=0 e y=x+2=2, então y = x+2 é a função superior e y = x^2 é a função inferior.

Passo 4

Montar a integral de volume usando o método dos anéis. O volume é dado por
V = pi integral-1^2 l[(x+2)^2 - l(x^2r)^2r] , dx

Passo 5

Calcular a integral: expandir o integrando
(x+2)^2 - x^4 = x^2 + 4x + 4 - x^4
e integrar termo a termo:
integral l(-x^4 + x^2 + 4x + 4r) dx = -15x^5 + 13x^3 + 2x^2 + 4x + C

Passo 6

Avaliar a primitiva nos limites x = -1 e x = 2:
Em x=2:
-15(2)^5 + 13(2)^3 + 2(2)^2 + 4(2) = -325 + 83 + 8 + 8 = 18415
Em x=-1:
-15(-1)^5 + 13(-1)^3 + 2(-1)^2 + 4(-1) = 15 - 13 + 2 - 4 = -3215
Subtraindo, obtemos
18415 - l(-3215r) = 21615 = 725

Passo 7

Multiplicar pelo pi para obter o volume final:
V = 725pi

Resposta

725pi

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