Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região limitada por
e
.
Passo 1
Resumo: Estamos calculando o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada por
e
em torno do eixo dos
. O conteúdo é o método dos discos/aneis (washers) e vamos precisar achar os pontos de interseção, identificar as curvas superior e inferior, montar a integral de volume e calculá-la.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção de
e
resolvendo
, o que leva a
. As raízes são
e
.
Passo 3
Determinar qual curva está acima na faixa
. Por exemplo, em
temos
e
, então
é a função superior e
é a função inferior.
Passo 4
Montar a integral de volume usando o método dos anéis. O volume é dado por
Passo 5
Calcular a integral: expandir o integrando
e integrar termo a termo:
Passo 6
Avaliar a primitiva nos limites
e
:
Em :
Em
Em
:
Subtraindo, obtemos
Passo 7
Multiplicar pelo
para obter o volume final: