Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y=x e y=x^2, de x=0 a x=1, em torno do eixo y.

Passo 1

A região é definida pelas curvas y = x (acima) e y = x² (abaixo), para x entre 0 e 1, e vamos girar essa região em torno do eixo y. O conteúdo aqui é volume de sólido de revolução em torno do eixo y, e vamos precisar usar o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas, imaginamos lâminas verticais que, ao girar, viram cascas. A fórmula geral é:
V = 2pi integrala^b l(raior)timesl(a

Passo 3

Aqui o raio de cada casca é x (distância ao eixo y) e a altura é a diferença entre as funções: f(x) = x e g(x) = x². Os limites são a = 0 e b = 1, então:
V = 2pi integral0^1 xl(x - x^2r),dx

Passo 4

Agora simplificamos o integrando e calculamos a integral:
x(x - x^2) = x^2 - x^3,
logo
V = 2pi integral0^1 (x^2 - x^3),dx = 2pi l[x^33 - x^44r]0^1

Passo 5

Avaliando em x = 1 e x = 0, temos
1^33 - 1^44 = 13 - 14 = 112
Multiplicando por 2π dá
V = 2pi cdot 112 = pi6

Passo 6

Portanto, o volume do sólido gerado é pi/6.

Resposta

pi6

Exercícios relacionados