Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
e
, de
a
, em torno do eixo
.
Passo 1
A região é definida pelas curvas y = x (acima) e y = x² (abaixo), para x entre 0 e 1, e vamos girar essa região em torno do eixo y. O conteúdo aqui é volume de sólido de revolução em torno do eixo y, e vamos precisar usar o método das cascas cilíndricas.
Passo 2
No método das cascas cilíndricas, imaginamos lâminas verticais que, ao girar, viram cascas. A fórmula geral é:
Passo 3
Aqui o raio de cada casca é x (distância ao eixo y) e a altura é a diferença entre as funções: f(x) = x e g(x) = x². Os limites são a = 0 e b = 1, então:
Passo 4
Agora simplificamos o integrando e calculamos a integral:
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Passo 5
Avaliando em x = 1 e x = 0, temos
Multiplicando por 2π dá
Passo 6
Portanto, o volume do sólido gerado é
.