Uma lata cilíndrica, aberta em cima, deve ter um volume de
polegadas cúbicas. O custo do material usado para a base é de 5 centavos por polegada quadrada e o custo do material usado para a superfície lateral é de 3 centavos por polegada quadrada. Se não há custo de desperdício, encontre as dimensões que minimizarão o custo da lata.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as dimensões (raio e altura) de uma lata cilíndrica aberta em cima, com volume fixo de
polegadas cúbicas, de modo a minimizar o custo do material: a base custa 5 centavos por
e a superfície lateral custa 3 centavos por
. Vamos usar cálculo de otimização com restrição de volume.
Passo 2
A partir do volume da lata, escrevemos a restrição: a lata é um cilindro de raio
e altura
, logo
Dividindo ambos os lados por
Passo 3
Agora montamos a função custo
. A área da base é
e custa 5 centavos por
; a área lateral é
e custa 3 centavos por
. Assim:
Passo 4
Substituindo
em
, obtemos uma função de uma só variável
:
Passo 5
Para achar o mínimo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Logo
Passo 6
Em seguida, obtemos a altura usando
:
Passo 7
Por fim, confirmamos que
nesse valor (o que caracteriza mínimo), mas como o domínio de
e a forma de
já indicam um mínimo único, está concluído.
Resposta
Raio
pol. e altura
pol.