Uma lata cilíndrica, aberta em cima, deve ter um volume de 16 pi polegadas cúbicas. O custo do material usado para a base é de 5 centavos por polegada quadrada e o custo do material usado para a superfície lateral é de 3 centavos por polegada quadrada. Se não há custo de desperdício, encontre as dimensões que minimizarão o custo da lata.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as dimensões (raio e altura) de uma lata cilíndrica aberta em cima, com volume fixo de 16pi polegadas cúbicas, de modo a minimizar o custo do material: a base custa 5 centavos por in^2 e a superfície lateral custa 3 centavos por in^2. Vamos usar cálculo de otimização com restrição de volume.

Passo 2

A partir do volume da lata, escrevemos a restrição: a lata é um cilindro de raio r e altura h, logo
pi r^2 h = 16pi
Dividindo ambos os lados por pi, temos
r^2 h = 16 Longrightarrow h = 16r^2

Passo 3

Agora montamos a função custo C. A área da base é pi r^2 e custa 5 centavos por in^2; a área lateral é 2pi r h e custa 3 centavos por in^2. Assim:
C(r,h)=5,l(pi r^2r)+3,l(2pi r hr)=5pi r^2+6pi r h

Passo 4

Substituindo h=16/r^2 em C, obtemos uma função de uma só variável r:
C(r)=5pi r^2+6pi rcdot16r^2=5pi r^2+96pi,r^-1

Passo 5

Para achar o mínimo, derivamos C(r) em relação a r e igualamos a zero:
C'(r)=10pi r-96pi r^-2=0Longrightarrow10r^3=96Longrightarrow r^3=9610=9.6
Logo
r=raiz[3]9.6=raiz[3]tfrac485approx2.13 po<=gadas

Passo 6

Em seguida, obtemos a altura usando h=16/r^2:
h=16(2.13)^2approx3.54 po<=gadas

Passo 7

Por fim, confirmamos que C''(r)>0 nesse valor (o que caracteriza mínimo), mas como o domínio de r>0 e a forma de C(r) já indicam um mínimo único, está concluído.

Resposta

Raio r=raiz[3]tfrac485approx2.13 pol. e altura h=tfrac16r^2approx3.54 pol.

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