Esboce a região de integração e faça a mudança de integração:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para esboçar a região de integração e fazer uma mudança de integração para a integral dupla:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender bem a região onde estamos integrando e depois mudar as coordenadas para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está de
até
, e para cada valor de
,
varia de
até
.
Isso significa que, para cada linha horizontal (fixando
),
vai de um lado do círculo até o outro. A equação
é derivada de
, que é a equação de um círculo com raio 3 centrado na origem.
Como
vai de 0 a 3, estamos olhando apenas para a metade superior desse círculo. Então, a região de integração é um semicírculo superior com raio 3.
Passo 3
Vamos esboçar essa região para ficar mais claro. Imagine um círculo com raio 3 no plano
. Como
começa em 0 e vai até 3, estamos considerando apenas a parte de cima do círculo (a semicircunferência superior). Para cada
,
se estende de
até
, formando uma linha horizontal dentro do semicírculo.
Então, o esboço seria um semicírculo acima do eixo
, com raio 3.
Passo 4
Agora, vamos fazer uma mudança de coordenadas para facilitar a integração. Como estamos lidando com um semicírculo, as coordenadas polares são uma boa escolha.
Em coordenadas polares, temos:
E o elemento de área
se transforma em
.
Além disso, precisamos ajustar os limites de integração:
- O raio
varia de 0 até 3 (raio do círculo). - O ângulo
varia de 0 a (já que estamos apenas na metade superior do círculo).
Passo 5
Com essas mudanças, a integral original pode ser reescrita em coordenadas polares:
Aqui, substituímos
e
pelas expressões em termos de
e
, e incluímos o fator
que vem da mudança para coordenadas polares.
Resposta
Após mudar para coordenadas polares, a integral transformada fica: