Esboce a região de integração e faça a mudança de integração:
integral0^3 integral-raiz9-y^2^raiz9-y^2 f(x, y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para esboçar a região de integração e fazer uma mudança de integração para a integral dupla:
integral0^3 integral-raiz9-y^2^raiz9-y^2 f(x, y) , dx , dy
Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender bem a região onde estamos integrando e depois mudar as coordenadas para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral está de y = 0 até y = 3, e para cada valor de y, x varia de -raiz9 - y^2 até raiz9 - y^2.
Isso significa que, para cada linha horizontal (fixando y), x vai de um lado do círculo até o outro. A equação x = pm raiz9 - y^2 é derivada de x^2 + y^2 = 9, que é a equação de um círculo com raio 3 centrado na origem.
Como y vai de 0 a 3, estamos olhando apenas para a metade superior desse círculo. Então, a região de integração é um semicírculo superior com raio 3.

Passo 3

Vamos esboçar essa região para ficar mais claro. Imagine um círculo com raio 3 no plano xy. Como y começa em 0 e vai até 3, estamos considerando apenas a parte de cima do círculo (a semicircunferência superior). Para cada y, x se estende de -raiz9 - y^2 até raiz9 - y^2, formando uma linha horizontal dentro do semicírculo.
Então, o esboço seria um semicírculo acima do eixo x, com raio 3.

Passo 4

Agora, vamos fazer uma mudança de coordenadas para facilitar a integração. Como estamos lidando com um semicírculo, as coordenadas polares são uma boa escolha.
Em coordenadas polares, temos:
x = r costheta y = r sintheta
E o elemento de área dx,dy se transforma em r,dr,dtheta.
Além disso, precisamos ajustar os limites de integração:
  • O raio r varia de 0 até 3 (raio do círculo).
  • O ângulo theta varia de 0 a pi (já que estamos apenas na metade superior do círculo).

Passo 5

Com essas mudanças, a integral original pode ser reescrita em coordenadas polares:
integral0^pi integral0^3 f(r costheta, r sintheta) cdot r , dr , dtheta
Aqui, substituímos x e y pelas expressões em termos de r e theta, e incluímos o fator r que vem da mudança para coordenadas polares.

Resposta

Após mudar para coordenadas polares, a integral transformada fica:
integral0^pi integral0^3 f(r costheta, r sintheta) cdot r , dr , dtheta

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