Usando expansão em série de Maclaurin calcule a integral abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando série de Maclaurin. Vamos precisar da expansão em série de Taylor (Maclaurin) de
e do teorema que permite trocar soma e integral em série que converge uniformemente.
Passo 2
Sabemos que a série de Maclaurin de
é
Dividindo por
, obtemos
Passo 3
Como essa série converge uniformemente em
, podemos trocar soma e integral:
Passo 4
Vamos calcular o integral genérico:
Passo 5
Substituindo de volta na série, fica
Passo 6
Se quisermos uma aproximação numérica rápida, basta somar os primeiros termos:
Para :
;
para :
;
para :
;
para :
.
Somando esses quatro termos, obtemos aproximadamente .
Para
para
para
para
Somando esses quatro termos, obtemos aproximadamente