Usando expansão em série de Maclaurin calcule a integral abaixo:
integral1 / 2^1 sen xx d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral1/2^1 sin xx,dx usando série de Maclaurin. Vamos precisar da expansão em série de Taylor (Maclaurin) de sin x e do teorema que permite trocar soma e integral em série que converge uniformemente.

Passo 2

Sabemos que a série de Maclaurin de sin x é
sin x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!
Dividindo por x, obtemos
sin xx=sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n+1)!

Passo 3

Como essa série converge uniformemente em [tfrac12,1], podemos trocar soma e integral:
integral1/2^1sin xx,dx=sumn=0^infty(-1)^n1(2n+1)!integral1/2^1x^2n,dx

Passo 4

Vamos calcular o integral genérico:
integral1/2^1x^2n,dx=[x^2n+12n+1]1/2^1=1-(tfrac12)^2n+12n+1

Passo 5

Substituindo de volta na série, fica
integral1/2^1sin xx,dx=sumn=0^infty(-1)^n1-(tfrac12)^2n+1(2n+1)(2n+1)!

Passo 6

Se quisermos uma aproximação numérica rápida, basta somar os primeiros termos:
Para n=0: tfrac1-(1/2)^11cdot1!=0,5;
para n=1: -tfrac1-(1/2)^33cdot3!approx-0,048611;
para n=2: tfrac1-(1/2)^55cdot5!approx0,001615;
para n=3: -tfrac1-(1/2)^77cdot7!approx-0,000028.
Somando esses quatro termos, obtemos aproximadamente 0,45298.

Resposta

integral1/2^1sin xx,dx=sumn=0^infty(-1)^n1-(tfrac12)^2n+1(2n+1)(2n+1)!approx0,45298

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