Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y=x e y=x^2, quando ela gira em torno da reta y=-1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de y=-1 a região limitada por y=x e y=x^2. O conteúdo aqui é o método dos discos (ou anéis), integrando em x entre os pontos de interseção das curvas.

Passo 2

Encontramos as abscissas de interseção resolvendo
x = x^2
ou seja
x^2 - x = 0 Longrightarrow x(x-1)=0
logo os limites de integração são x=0 e x=1.

Passo 3

Para cada xin[0,1] a região vai de yinf=x^2 até ysup=x. Ao girar em torno de y=-1 temos:
  • raio externo
R(x)=distância de ysup a y=-1 = x-(-1)=x+1, â
  • raio interno
r(x)=distância de yinf a y=-1 = x^2-(-1)=x^2+1 â

Passo 4

Pelo método dos anéis, o volume é
V = integral0^1 pil[R(x)^2 - r(x)^2r],dx = pi integral0^1 l[(x+1)^2 - (x^2+1)^2r],dx

Passo 5

Calculamos o integrando:
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1, (x^2+1)^2 = x^4 + 2x^2 + 1,
(x+1)^2 - (x^2+1)^2 = (x^2 + 2x + 1) - (x^4 + 2x^2 + 1) = -x^4 - x^2 + 2x
Logo
V = pi integral0^1 l(-x^4 - x^2 + 2xr),dx

Passo 6

Fazendo a integral:
integral0^1 (-x^4 - x^2 + 2x),dx = l[-tfracx^55 - tfracx^33 + x^2r]0^1 = -tfrac15 - tfrac13 + 1 = 1 - tfrac13 - tfrac15 = tfrac715
Portanto
V = pi cdot tfrac715 = tfrac7pi15

Resposta

7pi15

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