Para que valores de a e b a função f é contínua em todo número real?
f(x)=rlrx+1, & se & -1<x<3 x^2+a x+b, & se & |x-1| >= 2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= x+1, & -1<x<3, x^2+ax+b, & |x-1|>=2
e pede para f ser contínua em todo real. Como os dois ramos se encontram apenas em x=-1 e em x=3, precisamos fazer os limites laterais nesses pontos coinciderem com o valor de f.

Passo 2

Para x=-1:
O ramo à esquerda ( |x-1|>=2) dá
limxto-1^-f(x)=(-1)^2+a(-1)+b=1-a+b
O ramo à direita ( -1<x<3) dá
limxto-1^+f(x)=-1+1=0
Como f(-1) vem do primeiro ramo, f(-1)=1-a+b. Para continuidade em -1 exige-se
1 - a + b = 0

Passo 3

Para x=3:
O ramo à esquerda ( -1<x<3) dá
limxto3^-f(x)=3+1=4
O ramo à direita ( |x-1|>=2) dá
limxto3^+f(x)=3^2+3a+b=9+3a+b
Como f(3)=9+3a+b, a continuidade em 3 impõe
9 + 3a + b = 4

Passo 4

Resolvendo o sistema
1 - a + b = 0, 9 + 3a + b = 4,
subtraindo a primeira da segunda:
(9+3a+b)-(1 - a + b)=4-0 ;Longrightarrow;8+4a=4 ;Longrightarrow;a=-1
Substituindo em 1-a+b=0
1-(-1)+b=0 ;Longrightarrow;2+b=0 ;Longrightarrow;b=-2

Resposta

Os valores que tornam f contínua em todo R são
a=-1, b=-2

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