Ache a solução geral da equação diferencial seguinte:
y^prime prime+4 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução tem a forma de uma função exponencial: . Isso porque funções exponenciais costumam simplificar a resolução de equações diferenciais com coeficientes constantes.

Passo 3

Agora, vamos derivar essa função para encontrar y' = r e^rx e y'' = r^2 e^rx :

Passo 4

Substituímos r^2 e^rx + 4 e^rx = 0 e e^rx (r^2 + 4) = 0 na equação original:
Podemos fatorar :

Passo 5

Como r^2 + 4 = 0 nunca é zero, podemos igualar o termo dentro dos parênteses a zero:

Passo 6

Resolvemos a equação característica para r^2 = -4 :
r = pm 2i

Passo 7

Quando as raízes são complexas da forma y(x) = C1 cos(bx) + C2 sin(bx) , a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial y(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x) é:

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