Ache a solução geral da equação diferencial seguinte:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução tem a forma de uma função exponencial:
. Isso porque funções exponenciais costumam simplificar a resolução de equações diferenciais com coeficientes constantes.
Passo 3
Agora, vamos derivar essa função para encontrar
e
:
Passo 4
Substituímos
e
na equação original:
Podemos fatorar
:
Passo 5
Como
nunca é zero, podemos igualar o termo dentro dos parênteses a zero:
Passo 6
Resolvemos a equação característica para
:
Passo 7
Quando as raízes são complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é: