Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
; Em torno do eixo y.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos o volume de um sólido que é gerado ao girar uma região delimitada pelas curvas
,
, e
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo de volumes por integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual método usar. Como estamos girando em torno do eixo
, o método das cascas cilíndricas é bastante adequado. Esse método envolve calcular a soma de pequenos cilindros (cascas) que formam o sólido.
Passo 3
Vamos identificar as funções e os limites de integração. Temos:
- A função
que é uma reta. - A reta vertical
. - A reta horizontal
(eixo ).
Isso significa que nosso intervalo de integração será de
até
.
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do método das cascas:
Onde:
-
é o volume. -
e são os limites de integração (0 e 2). -
é a função que define a altura da casca, que no nosso caso é .
Passo 5
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Resolvendo a integral:
Então:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.