Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
y=x4, x=2, y=0; Em torno do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrarmos o volume de um sólido que é gerado ao girar uma região delimitada pelas curvas y = x4 , x = 2 , e y = 0 em torno do eixo y . Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo de volumes por integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual método usar. Como estamos girando em torno do eixo y , o método das cascas cilíndricas é bastante adequado. Esse método envolve calcular a soma de pequenos cilindros (cascas) que formam o sólido.

Passo 3

Vamos identificar as funções e os limites de integração. Temos:
  • A função y = x4 que é uma reta.
  • A reta vertical x = 2 .
  • A reta horizontal y = 0 (eixo x ).
Isso significa que nosso intervalo de integração será de x = 0 até x = 2 .

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do método das cascas:
V = 2pi integrala^b x cdot f(x) , dx
Onde:
  • V é o volume.
  • a e b são os limites de integração (0 e 2).
  • f(x) é a função que define a altura da casca, que no nosso caso é x4 .

Passo 5

Substituindo na fórmula:
V = 2pi integral0^2 x cdot x4 , dx
V = 2pi integral0^2 x^24 , dx
V = pi2 integral0^2 x^2 , dx

Passo 6

Resolvendo a integral:
integral x^2 , dx = x^33
Então:
V = pi2 [ x^33 ]0^2
V = pi2 ( 83 - 0 )
V = pi2 cdot 83
V = 4pi3

Resposta

O volume do sólido é 4pi3 unidades cúbicas.

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