Seja
um campo vetorial.
Calcule
, onde
é a intersecção da superfície
com o plano
orientada no sentido anti-horário quando vista da origem.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de cálculo vetorial onde precisamos calcular uma integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
. Essa curva
é a interseção da superfície
com o plano
e está orientada no sentido anti-horário quando vista da origem. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de campos vetoriais, integrais de linha e possíveis teoremas que facilitam o cálculo, como o Teorema de Stokes.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o campo vetorial
. Queremos saber se esse campo é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial
tal que
. Se o campo for conservativo, a integral de linha sobre uma curva fechada será zero, o que simplifica bastante nosso trabalho.
Para verificar se
é conservativo, precisamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Agora, o rotacional de
fica:
Como o rotacional de
é o vetor nulo, isso indica que
é um campo conservativo.
Passo 3
Sendo
um campo conservativo, podemos usar uma propriedade importante das integrais de linha: a integral de um campo conservativo ao longo de uma curva fechada é sempre zero. Isso acontece porque, em campos conservativos, o trabalho realizado ao percorrer uma volta completa na curva acaba compensando-se, resultando em zero.
Matematicamente, se
é uma curva fechada (isto é, começa e termina no mesmo ponto), então:
No nosso caso, a curva
é de fato fechada, já que é a interseção de uma superfície fechada (a elipsoide) com um plano, formando um loop completo.
Passo 4
Portanto, sem precisar parametrizar a curva ou calcular integrais complicadas, podemos concluir que:
Resposta
A integral de linha é igual a zero.