Seja F(x, y, z)=(y z+x^2, x z+3 y^2, x y) um campo vetorial.
Calcule integralC F d r, onde C é a intersecção da superfície x^23+y^24+z^2=1, z >= 0 com o plano y=1 orientada no sentido anti-horário quando vista da origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de cálculo vetorial onde precisamos calcular uma integral de linha de um campo vetorial F(x, y, z) = (y z + x^2, x z + 3 y^2, x y) ao longo de uma curva C . Essa curva C é a interseção da superfície x^23 + y^24 + z^2 = 1 com o plano y = 1 e está orientada no sentido anti-horário quando vista da origem. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de campos vetoriais, integrais de linha e possíveis teoremas que facilitam o cálculo, como o Teorema de Stokes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o campo vetorial F(x, y, z) = (y z + x^2, x z + 3 y^2, x y) . Queremos saber se esse campo é conservativo, ou seja, se existe uma função potencial phi tal que F = nabla phi . Se o campo for conservativo, a integral de linha sobre uma curva fechada será zero, o que simplifica bastante nosso trabalho.
Para verificar se F é conservativo, precisamos calcular o rotacional de F , que é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y )
Vamos calcular cada componente:
  1. partial Fzpartial y = partial (x y)partial y = x
  2. partial Fypartial z = partial (x z + 3 y^2)partial z = x
  3. partial Fxpartial z = partial (y z + x^2)partial z = y
  4. partial Fzpartial x = partial (x y)partial x = y
  5. partial Fypartial x = partial (x z + 3 y^2)partial x = z
  6. partial Fxpartial y = partial (y z + x^2)partial y = z
Agora, o rotacional de F fica:
nabla times F = (x - x, y - y, z - z) = (0, 0, 0)
Como o rotacional de F é o vetor nulo, isso indica que F é um campo conservativo.

Passo 3

Sendo F um campo conservativo, podemos usar uma propriedade importante das integrais de linha: a integral de um campo conservativo ao longo de uma curva fechada é sempre zero. Isso acontece porque, em campos conservativos, o trabalho realizado ao percorrer uma volta completa na curva acaba compensando-se, resultando em zero.
Matematicamente, se C é uma curva fechada (isto é, começa e termina no mesmo ponto), então:
ointC F cdot dr = 0
No nosso caso, a curva C é de fato fechada, já que é a interseção de uma superfície fechada (a elipsoide) com um plano, formando um loop completo.

Passo 4

Portanto, sem precisar parametrizar a curva ou calcular integrais complicadas, podemos concluir que:
integralC F cdot dr = 0

Resposta

A integral de linha é igual a zero.

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