Seja
um campo vetorial.
Se for, determine uma função
tal que
.
Se for, determine uma função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e queremos encontrar uma função
tal que
. Isso significa que
é uma função potencial para o campo
. Para isso, vamos precisar entender como funciona o gradiente e como integrar cada componente do campo vetorial para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de
é dado por:
Então, se
, temos que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar
.
Passo 3
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função que pode depender de
e
e aparece porque a constante de integração nesse caso pode ser uma função dessas variáveis.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação
para encontrar
. Diferenciando
que encontramos em relação a
:
Isso nos dá:
Integrando em relação a
:
Onde
é outra função que depende só de
.
Passo 5
Agora, vamos usar a terceira equação
para encontrar
. Diferenciando
com a expressão atual em relação a
:
Isso implica que:
Portanto,
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 6
Agora, juntando tudo, a função
fica:
Como
é uma constante, podemos simplesmente escrevê-la sem afetar a derivada.
Resposta
A função potencial é
onde
é uma constante.