Seja F(x, y, z)=(y z+x^2, x z+3 y^2, x y) um campo vetorial.
Se for, determine uma função f tal que F=nabla f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial F(x, y, z) = (y z + x^2, x z + 3 y^2, x y) e queremos encontrar uma função f tal que F = nabla f . Isso significa que f é uma função potencial para o campo F . Para isso, vamos precisar entender como funciona o gradiente e como integrar cada componente do campo vetorial para encontrar f .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de f é dado por:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )
Então, se F = nabla f , temos que:
partial fpartial x = y z + x^2
partial fpartial y = x z + 3 y^2
partial fpartial z = x y
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar f .

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira equação em relação a x :
f(x, y, z) = integral (y z + x^2) , dx = y z x + x^33 + g(y, z)
Aqui, g(y, z) é uma função que pode depender de y e z e aparece porque a constante de integração nesse caso pode ser uma função dessas variáveis.

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação partial fpartial y = x z + 3 y^2 para encontrar g(y, z) . Diferenciando f que encontramos em relação a y :
partial fpartial y = z x + partial gpartial y = x z + 3 y^2
Isso nos dá:
partial gpartial y = 3 y^2
Integrando em relação a y :
g(y, z) = y^3 + h(z)
Onde h(z) é outra função que depende só de z .

Passo 5

Agora, vamos usar a terceira equação partial fpartial z = x y para encontrar h(z) . Diferenciando f com a expressão atual em relação a z :
partial fpartial z = x y + partial hpartial z = x y
Isso implica que:
partial hpartial z = 0
Portanto, h(z) é uma constante. Vamos chamar essa constante de C .

Passo 6

Agora, juntando tudo, a função f fica:
f(x, y, z) = y z x + x^33 + y^3 + C
Como C é uma constante, podemos simplesmente escrevê-la sem afetar a derivada.

Resposta

A função potencial é
f(x, y, z) = x y z + x^33 + y^3 + C
onde C é uma constante.

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