Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. Obs.: Esboce a região a ser rotacionada e identifique os elementos da casca cilíndrica para calcular o volume do sólido.
x y=1, x=0, y=1, y=3; em torno do eixo x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região do primeiro quadrante limitada por
- a hipérbole xy=1,
- a reta x=0,
- as retas horizontais y=1 e y=3.
O conteúdo aqui é aplicação do método das cascas cilíndricas, que usa integrais em y para rotação em torno de eixo horizontal.

Passo 2

Esboçando a região em xy: para cada y entre 1 e 3, a curva xy=1
x=\frac{1}{y},
e a outra fronteira vertical é x=0. Logo a região é um “retângulo curvado” com y\in[1,3] e x\in\bigl[0,\tfrac1y\bigr].

Passo 3

Num elemento de casca cilíndrica horizontal em altura y:
– o raio da casca é a distância ao eixo x, ou seja \,y,
– a altura da casca é o comprimento em x, ou seja
x_{\text{direita}} - x_{\text{esquerda}} =\frac{1}{y}-0 =\frac{1}{y},
– a espessura é \mathrm{d}y.
Assim o elemento de volume é
\mathrm{d}V =2\pi \times (\text{raio}) \times (\text{altura}) \times \mathrm{d}y =2\pi\,y\cdot\frac{1}{y}\,\mathrm{d}y.

Passo 4

Agora integramos \mathrm{d}V de y=1 até y=3:
V =\int_{1}^{3}2\pi\,y\cdot\frac{1}{y}\,\mathrm{d}y =\int_{1}^{3}2\pi\,\mathrm{d}y =2\pi\bigl[y\bigr]_{1}^{3} =2\pi(3-1).

Resposta

V = 4\pi.

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