Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
x=2-y^{2}, \quad x=y^{4}; em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada pelas curvas
x=2-y^{2}\quad\text{e}\quad x=y^{4}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{curvas: }x=2-y^{2}\quad\text{e}\quad x=y^{4},
\text{eixo de rotação: eixo }y.çã
Pergunta clara: calcular o volume do sólido de revolução gerado por essa região quando esboçada no plano xy e girada em torno do eixo y.

Passo 2

Escolha do método de integração (explicação didática e motivação):
Quando giramos uma região em torno do eixo y e as curvas estão dadas como x em função de y (ou seja, x=f(y)), a maneira mais direta é usar o método dos discos/anes (washers). Nesse método, para cada altura y fazemos uma fatia horizontal na região; ao girar essa fatia ao redor do eixo y obtemos um disco ou um anel cuja área é \pi(\text{raio externo}^2-\text{raio interno}^2). Isso evita transformar funções e é mais simples do que usar cascas cilíndricas aqui. Então vamos integrar em y.

Passo 3

Determinar os limites em y (pontos de interseção das curvas):
Para achar os valores de y onde as curvas se cruzam, igualamos
2-y^{2}=y^{4}.
Colocando todos os termos num lado:
y^{4}+y^{2}-2=0.
Fazendo a substituição u=y^{2} (para resolver mais facilmente):
u^{2}+u-2=0.
Essa é uma quadrática; fatorando:
(u+2)(u-1)=0,
logo u=1 ou u=-2. Como u=y^{2}\ge 0, descartamos u=-2 e ficamos com u=1, ou seja y^{2}=1. Portanto os pontos de interseção são
y=\pm 1.
Assim os limites de integração são y=-1 a y=1.

Passo 4

Identificar raio externo e raio interno em função de y:
Para um y fixo entre -1 e 1, a abscissa maior (mais à direita) dá o raio externo e a menor dá o raio interno. Avaliando em y=0 por exemplo:
x_{1}=2-0^{2}=2,\qquad x_{2}=0^{4}=0,
logo x=2-y^{2} é a curva à direita (raio externo) e x=y^{4} é a curva à esquerda (raio interno).
Portanto:
R(y)=2-y^{2},\qquad r(y)=y^{4}.
Observação de consistência: para -1\le y\le 1 temos R(y)\ge 1 e r(y)\ge 0, então ambos são não-negativos como esperamos para raios.

Passo 5

Montar a integral do volume usando o método dos discos/anes:
A área do anel gerado na altura y é \pi\big(R(y)^{2}-r(y)^{2}\big). Assim o volume é
V=\int_{y=-1}^{1}\pi\big((2-y^{2})^{2}-(y^{4})^{2}\big)\,dy.
Vamos simplificar o integrando antes de integrar. Expandindo:
(2-y^{2})^{2}=4-4y^{2}+y^{4},
(y^{4})^{2}=y^{8}.
Então
(2-y^{2})^{2}-(y^{4})^{2}=4-4y^{2}+y^{4}-y^{8}.
Portanto
V=\pi\int_{-1}^{1}\big(4-4y^{2}+y^{4}-y^{8}\big)\,dy.

Passo 6

Usar simetria para simplificar a integral:
O integrando 4-4y^{2}+y^{4}-y^{8} é função par (apenas potências pares de y), logo a integral sobre [-1,1] é o dobro da integral sobre [0,1]. Assim
V=2\pi\int_{0}^{1}\big(4-4y^{2}+y^{4}-y^{8}\big)\,dy.

Passo 7

Calcular a integral passo a passo:
Calculemos as primitivas termo a termo:
\int 4\,dy = 4y,
\int -4y^{2}\,dy = -4\cdot \frac{y^{3}}{3} = -\frac{4}{3}y^{3},
\int y^{4}\,dy = \frac{y^{5}}{5},
\int -y^{8}\,dy = -\frac{y^{9}}{9}.
Avaliando de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\big(4-4y^{2}+y^{4}-y^{8}\big)\,dy = \left[4y-\frac{4}{3}y^{3}+\frac{y^{5}}{5}-\frac{y^{9}}{9}\right]_{0}^{1}.
Substituindo y=1 e y=0:
4-\frac{4}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}.
Colocando em denominador comum 45:
4=\frac{180}{45},\quad -\frac{4}{3}=-\frac{60}{45},\quad \frac{1}{5}=\frac{9}{45},\quad -\frac{1}{9}=-\frac{5}{45}.
Somando:
\frac{180-60+9-5}{45}=\frac{124}{45}.
Portanto
\int_{0}^{1}\big(4-4y^{2}+y^{4}-y^{8}\big)\,dy=\frac{124}{45}.

Passo 8

Obter o volume final:
Lembrando do fator 2\pi do Passo 6, temos
V=2\pi\cdot\frac{124}{45}=\frac{248\pi}{45}.
Você já está no fim — deu trabalho, mas ficou lindo: \frac{248\pi}{45}.

Resposta

\displaystyle \frac{248\pi}{45}

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