Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas.
; em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região limitada pelas curvas
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Pergunta clara: calcular o volume do sólido de revolução gerado por essa região quando esboçada no plano
e girada em torno do eixo
.
Passo 2
Escolha do método de integração (explicação didática e motivação):
Quando giramos uma região em torno do eixo e as curvas estão dadas como
em função de
(ou seja,
), a maneira mais direta é usar o método dos discos/anes (washers). Nesse método, para cada altura
fazemos uma fatia horizontal na região; ao girar essa fatia ao redor do eixo
obtemos um disco ou um anel cuja área é
. Isso evita transformar funções e é mais simples do que usar cascas cilíndricas aqui. Então vamos integrar em
.
Quando giramos uma região em torno do eixo
Passo 3
Determinar os limites em
(pontos de interseção das curvas):
Para achar os valores de onde as curvas se cruzam, igualamos
Para achar os valores de
Colocando todos os termos num lado:
Fazendo a substituição
(para resolver mais facilmente):
Essa é uma quadrática; fatorando:
logo
ou
. Como
, descartamos
e ficamos com
, ou seja
. Portanto os pontos de interseção são
Assim os limites de integração são
a
.
Passo 4
Identificar raio externo e raio interno em função de
:
Para um fixo entre
e
, a abscissa maior (mais à direita) dá o raio externo e a menor dá o raio interno. Avaliando em
por exemplo:
Para um
logo
é a curva à direita (raio externo) e
é a curva à esquerda (raio interno).
Portanto:
Portanto:
Observação de consistência: para
temos
e
, então ambos são não-negativos como esperamos para raios.
Passo 5
Montar a integral do volume usando o método dos discos/anes:
A área do anel gerado na altura é
. Assim o volume é
A área do anel gerado na altura
Vamos simplificar o integrando antes de integrar. Expandindo:
Então
Portanto
Passo 6
Usar simetria para simplificar a integral:
O integrando é função par (apenas potências pares de
), logo a integral sobre
é o dobro da integral sobre
. Assim
O integrando
Passo 7
Calcular a integral passo a passo:
Calculemos as primitivas termo a termo:
Calculemos as primitivas termo a termo:
Avaliando de
a
:
Substituindo
e
:
Colocando em denominador comum
:
Somando:
Portanto
Passo 8
Obter o volume final:
Lembrando do fator do Passo 6, temos
Lembrando do fator
Você já está no fim — deu trabalho, mas ficou lindo:
.