Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y=x e y=x^{2}, e girada em torno:
da reta y=2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas y=x^2 e y=x em torno da reta y=2. O conteúdo principal é cálculo de volume por rotação usando o método dos anéis, que leva em conta a fórmula
V=\int_a^b \pi\bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr]\,dx.
Precisamos determinar os limites de integração (interseção das curvas) e expressar os raios externo e interno em função de x.

Passo 2

Para achar os limites, igualamos
x^2 = x \quad\Longrightarrow\quad x(x-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\text{ ou }x=1.
No intervalo \bigl[0,1\bigr], temos y=x acima de y=x^2, portanto esses serão os limites de integração.

Passo 3

Ao girar em torno de y=2:
– O raio externo R(x) é a distância vertical de y=2 até a curva inferior y=x^2:
R(x)=2 - x^2.
– O raio interno r(x) é a distância vertical de y=2 até a curva superior y=x:
r(x)=2 - x.
Assim o volume é
V = \int_{0}^{1} \pi\bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr]\,dx = \pi \int_{0}^{1} \bigl[(2 - x^2)^2 - (2 - x)^2\bigr]\,dx.

Passo 4

Expandindo o integrando:
(2 - x^2)^2 - (2 - x)^2 = \bigl(4 - 4x^2 + x^4\bigr) - \bigl(4 - 4x + x^2\bigr) = x^4 - 5x^2 + 4x.
Logo
V = \pi \int_{0}^{1} \bigl(x^4 - 5x^2 + 4x\bigr)\,dx.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int_{0}^{1} x^4\,dx = \tfrac{1}{5}, \quad \int_{0}^{1} x^2\,dx = \tfrac{1}{3}, \quad \int_{0}^{1} x\,dx = \tfrac{1}{2}.
Substituindo:
V = \pi \Bigl(\tfrac{1}{5} - 5\cdot\tfrac{1}{3} + 4\cdot\tfrac{1}{2}\Bigr) = \pi \Bigl(\tfrac{1}{5} - \tfrac{5}{3} + 2\Bigr) = \pi \cdot \tfrac{8}{15} = \tfrac{8\pi}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{8\pi}{15}

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