Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
, e girada em torno:
da reta
.
da reta
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno da reta
. O conteúdo principal é cálculo de volume por rotação usando o método dos anéis, que leva em conta a fórmula
Precisamos determinar os limites de integração (interseção das curvas) e expressar os raios externo e interno em função de
.
Passo 2
Para achar os limites, igualamos
No intervalo
, temos
acima de
, portanto esses serão os limites de integração.
Passo 3
Ao girar em torno de
:
– O raio externo
é a distância vertical de
até a curva inferior
:
– O raio interno
é a distância vertical de
até a curva superior
:
Assim o volume é
Passo 4
Expandindo o integrando:
Logo
Passo 5
Integramos termo a termo:
Substituindo: