Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
, e girada em torno:
da reta
.
da reta
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta
a região limitada pelas curvas
e
. O conteúdo é cálculo de volumes por revolução, e vamos usar o método das cascas cilíndricas (shells), pois o eixo de rotação é vertical e as curvas estão dadas como
.
Passo 2
Precisamos determinar os limites de integração encontrando onde as curvas se intersectam, isto é, resolver
Isso dá
Logo a região vai de
até
.
Passo 3
No método das cascas cilíndricas, cada “casca” em abscissa
tem:
- raio
medido até a reta , ou seja
- altura igual à diferença entre a função superior
e a inferior , ou seja
Passo 4
A área lateral de uma casca fina de espessura
é aproximadamente
. Assim o volume total é
Primeiro expandimos o integrando:
Então
Passo 5
Agora calculamos a integral:
Multiplicando por
, obtemos
Resposta
O volume do sólido é
.