Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y=x e y=x^{2}, e girada em torno:
da reta x=-1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta x=-1 a região limitada pelas curvas \,y=x e \,y=x^2. O conteúdo é cálculo de volumes por revolução, e vamos usar o método das cascas cilíndricas (shells), pois o eixo de rotação é vertical e as curvas estão dadas como y=f(x).

Passo 2

Precisamos determinar os limites de integração encontrando onde as curvas se intersectam, isto é, resolver
x = x^2.
Isso dá
x^2 - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0 \text{ ou } x=1.
Logo a região vai de x=0 até x=1.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, cada “casca” em abscissa x tem:
  • raio r medido até a reta x=-1, ou seja
r = x - (-1) = x + 1;
  • altura igual à diferença entre a função superior y=x e a inferior y=x^2, ou seja
h = x - x^2.

Passo 4

A área lateral de uma casca fina de espessura dx é aproximadamente 2\pi\,r\,h\,dx. Assim o volume total é
V = 2\pi \int_{x=0}^{1} (x+1)\,(x - x^2)\,dx.
Primeiro expandimos o integrando:
(x+1)(x - x^2) = x^2 - x^3 + x - x^2 = -x^3 + x.
Então
V = 2\pi \int_{0}^{1} \bigl(-x^3 + x\bigr)\,dx.

Passo 5

Agora calculamos a integral:
\int_{0}^{1} \bigl(-x^3 + x\bigr)\,dx = \Bigl[-\tfrac{x^4}{4} + \tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{1} = \Bigl(-\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{2}\Bigr) = \tfrac{1}{4}.
Multiplicando por 2\pi, obtemos
V = 2\pi \cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{\pi}{2}.

Resposta

O volume do sólido é \displaystyle \frac{\pi}{2}.

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