Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
x=y-y^2, x=0; ao redor do eixo x .

Passo 1

Nesse exercício, queremos encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas x = y - y^2 e x = 0 em torno do eixo x. Esse é um problema de cálculo de volume de sólidos de revolução, e vamos usar o método das cascas cilíndricas, pois a região está bem descrita em função de y.

Passo 2

Primeiro, determinamos os pontos de interseção entre as curvas para achar os limites de integração em y. As curvas se cruzam quando
y - y^2 = 0 Longrightarrow y(1 - y) = 0 Longrightarrow y = 0 ou y = 1

Passo 3

Cada casca cilíndrica gerada pela rotação de um retângulo horizontal de espessura dy tem: raio igual a y e altura dada por
xdireita - xesquerda = (y - y^2) - 0 = y - y^2

Passo 4

A fórmula do volume pelo método das cascas é
V = 2pi integrala^b (raio) cdot (a

Passo 5

Substituindo o raio, a altura e os limites y=0 a y=1, temos
V = 2pi integral0^1 y,(y - y^2),dy = 2pi integral0^1 l(y^2 - y^3r),dy

Passo 6

Agora calculamos a integral definida:
integral0^1 (y^2 - y^3),dy = [y^33 - y^44]0^1 = 13 - 14 = 112

Passo 7

Logo, a expressão para o volume fica V = 2pi cdot 112.

Resposta

pi6

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