Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
; ao redor do eixo x .
Passo 1
Nesse exercício, queremos encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Esse é um problema de cálculo de volume de sólidos de revolução, e vamos usar o método das cascas cilíndricas, pois a região está bem descrita em função de
.
Passo 2
Primeiro, determinamos os pontos de interseção entre as curvas para achar os limites de integração em
. As curvas se cruzam quando
Passo 3
Cada casca cilíndrica gerada pela rotação de um retângulo horizontal de espessura
tem: raio igual a
e altura dada por
Passo 4
A fórmula do volume pelo método das cascas é
Passo 5
Substituindo o raio, a altura e os limites
a
, temos
Passo 6
Agora calculamos a integral definida:
Passo 7
Logo, a expressão para o volume fica
.