Quais das funções abaixo são contínuas em x0=3 ? Justifique.
a. f(x)=x^2-5 x+6x-3.
b. g(x)= x^2-3 xx-3, & se x neq 3 ; 5, & se x=3
c. h(x)= x^2-9x-3, & se x neq 3 ; 6, & se x=3
d. k(x)= x^2-9x-3, & se x<3 ; x^2-2 x+3, & se x >= 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar quais das funções dadas são contínuas em $ x_0 = 3 $. Isso está dentro do conteúdo de continuidade de funções na matéria de Matemática. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é continuidade: uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando $ x $ se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos calcular os limites das funções em $ x = 3 $ e ver se correspondem aos valores das funções em $ x = 3 $.

Passo 2

Vamos começar com a função a. $ f(x) = \frac{x^{2} - 5x + 6}{x - 3} $.
Primeiro, tentamos substituir $ x = 3 $:
f(x) = x^2 - 5x + 6x - 3
Esse resultado é indeterminado, então precisamos simplificar a função. Vamos fatorar o numerador:
x = 3
Agora, podemos reescrever a função:
f(3) = 3^2 - 5 cdot 3 + 63 - 3 = 9 - 15 + 60 = 00
Cancelando o termo $ x - 3 $:
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Agora, calculamos o limite quando $ x $ se aproxima de 3:
f(x) = (x - 2)(x - 3)x - 3
Como o limite existe e é igual a 1, mas a função não está definida em $ x = 3 $ (pois dá divisão por zero), concluímos que f(x) não é contínua em $ x = 3 $.

Passo 3

Agora, a função b.
g(x) = x^2 - 3xx - 3, & se x neq 3; 5, & se x = 3
Vamos simplificar a parte onde $ x \neq 3 $:
x neq 3
Cancelando $ x - 3 $:
x^2 - 3xx - 3 = x(x - 3)x - 3
Calculamos o limite quando $ x $ se aproxima de 3:
x - 3
Agora, vemos o valor da função em $ x = 3 $:
g(x) = x para x neq 3
Como o limite (3) não é igual ao valor da função em 3 (5), g(x) não é contínua em $ x = 3 $.

Passo 4

Vamos para a função c.
h(x) = x^2 - 9x - 3, & se x neq 3; 6, & se x = 3
Primeiro, simplificamos a parte onde $ x \neq 3 $:
x neq 3
Cancelando $ x - 3 $:
x^2 - 9x - 3 = (x - 3)(x + 3)x - 3
Calculamos o limite quando $ x $ se aproxima de 3:
x - 3
Agora, vemos o valor da função em $ x = 3 $:
h(x) = x + 3 para x neq 3
Como o limite (6) é igual ao valor da função em 3 (6), h(x) é contínua em $ x = 3 $.

Passo 5

Finalmente, a função d.
k(x) = x^2 - 9x - 3, & se x < 3; x^2 - 2x + 3, & se x >= 3
Primeiro, vamos simplificar a parte onde $ x < 3 $:
x < 3
Cancelando $ x - 3 $:
x^2 - 9x - 3 = (x - 3)(x + 3)x - 3
Calculamos o limite quando $ x $ se aproxima de 3 pela esquerda (x < 3):
x - 3
Agora, calculamos o limite quando $ x $ se aproxima de 3 pela direita (x ≥ 3):
k(x) = x + 3 para x < 3
Ambos os limites laterais são iguais a 6. Agora, vemos o valor da função em $ x = 3 $:
x
Como o limite existe e é igual ao valor da função em 3, k(x) é contínua em $ x = 3 $.

Resposta

As funções $ h(x) h(x) k(x) $ são contínuas em $ x_{0} = 3 k(x) çõ f(x) x0 = 3 g(x) $** não são contínuas nesse ponto.

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