Quais das funções abaixo são contínuas em
? Justifique.
a.
.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar quais das funções dadas são contínuas em $ x_0 = 3 $. Isso está dentro do conteúdo de continuidade de funções na matéria de Matemática. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é continuidade: uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando $ x $ se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos calcular os limites das funções em $ x = 3 $ e ver se correspondem aos valores das funções em $ x = 3 $.
Passo 2
Vamos começar com a função a. $ f(x) = \frac{x^{2} - 5x + 6}{x - 3} $.
Primeiro, tentamos substituir $ x = 3 $:
Esse resultado é indeterminado, então precisamos simplificar a função. Vamos fatorar o numerador:
Agora, podemos reescrever a função:
Cancelando o termo $ x - 3 $:
Agora, calculamos o limite quando $ x $ se aproxima de 3:
Como o limite existe e é igual a 1, mas a função não está definida em $ x = 3 $ (pois dá divisão por zero), concluímos que f(x) não é contínua em $ x = 3 $.
Passo 3
Agora, a função b.
Vamos simplificar a parte onde $ x \neq 3 $:
Cancelando $ x - 3 $:
Calculamos o limite quando $ x $ se aproxima de 3:
Agora, vemos o valor da função em $ x = 3 $:
Como o limite (3) não é igual ao valor da função em 3 (5), g(x) não é contínua em $ x = 3 $.
Passo 4
Vamos para a função c.
Primeiro, simplificamos a parte onde $ x \neq 3 $:
Cancelando $ x - 3 $:
Calculamos o limite quando $ x $ se aproxima de 3:
Agora, vemos o valor da função em $ x = 3 $:
Como o limite (6) é igual ao valor da função em 3 (6), h(x) é contínua em $ x = 3 $.
Passo 5
Finalmente, a função d.
Primeiro, vamos simplificar a parte onde $ x < 3 $:
Cancelando $ x - 3 $:
Calculamos o limite quando $ x $ se aproxima de 3 pela esquerda (x < 3):
Agora, calculamos o limite quando $ x $ se aproxima de 3 pela direita (x ≥ 3):
Ambos os limites laterais são iguais a 6. Agora, vemos o valor da função em $ x = 3 $:
Como o limite existe e é igual ao valor da função em 3, k(x) é contínua em $ x = 3 $.
Resposta
As funções $ h(x)
k(x) $ são contínuas em $ x_{0} = 3
f(x)
g(x) $** não são contínuas nesse ponto.