Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
, em torno de
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas
,
e
em torno da reta vertical
. Como a rotação é em torno de uma reta vertical fora da região, o método mais direto é o das cascas cilíndricas.
Passo 2
Determinar os limites de integração. A interseção de
com
ocorre em
. Logo a região no plano é
Passo 3
No método das cascas cilíndricas, para cada fatia vertical em
temos
raio
raio
altura
espessura
.
Assim, o volume de uma casca é
Assim, o volume de uma casca é
Passo 4
Integramos de
até
:
Calculando cada parte:
logo
Portanto