Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
y=x^{2}, y=0, x=1, em torno de x=-1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas y=x^2, y=0 e x=1 em torno da reta vertical x=-1. Como a rotação é em torno de uma reta vertical fora da região, o método mais direto é o das cascas cilíndricas.

Passo 2

Determinar os limites de integração. A interseção de y=x^2 com y=0 ocorre em x=0. Logo a região no plano é
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le x^2.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, para cada fatia vertical em x temos
raio
r(x) = x - (-1) = x + 1,
altura
h(x) = x^2 - 0 = x^2,
espessura dx.
Assim, o volume de uma casca é
dV = 2\pi\,r(x)\,h(x)\,dx = 2\pi\,(x+1)\,x^2\,dx.

Passo 4

Integramos de x=0 até x=1:
V = \int_{0}^{1} dV = 2\pi \int_{0}^{1} (x+1)x^2 \,dx = 2\pi \int_{0}^{1} \bigl(x^3 + x^2\bigr)\,dx.
Calculando cada parte:
\int_{0}^{1} x^3 \,dx = \frac{1}{4}, \quad \int_{0}^{1} x^2 \,dx = \frac{1}{3},
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\int_{0}^{1} \bigl(x^3 + x^2\bigr)\,dx = \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{7}{12}.
Portanto
V = 2\pi \cdot \frac{7}{12} = \frac{7\pi}{6}.

Resposta

\displaystyle V = \frac{7\pi}{6}.

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