Esboce a região limitada entre as curvas dadas e calcule sua área.
y=\operatorname{sen}(\pi x), y=x^{2}, x=2

Passo 1

O enunciado pede o esboço da região limitada pelas curvas y = \sin(\pi x), y = x^2 e pela reta vertical x = 2, e o cálculo da área dessa região. Para isso vamos precisar:
  1. Encontrar os pontos de interseção de \sin(\pi x) e x^2.
  2. Determinar qual curva fica acima em cada subintervalo.
  3. Expressar a área como integrais definidas e avaliá-las.

Passo 2

Procuramos soluções de
\sin(\pi x) = x^2.
Obviamente x=0 é uma solução. Há outra solução positiva em (0,1). Chamemos-na de a, de modo que
\sin(\pi a) = a^2,\quad 0<a<1.

Passo 3

Para achar numericamente a usamos, por exemplo, o método de Newton ou uma calculadora:
chutando x_0=0,8 e iterando, obtemos
a\approx0{,}7869.

Passo 4

No intervalo [0,a] verifica-se que \sin(\pi x)\ge x^2, enquanto em [a,2] temos x^2\ge \sin(\pi x). Logo a região fechada é dividida em duas “fatias”:
  • Para 0\le x\le a, a curva superior é y=\sin(\pi x) e a inferior é y=x^2.
  • Para a\le x\le2, a curva superior é y=x^2 e a inferior é y=\sin(\pi x).
Assim a área vale
A =\int_{0}^{a}\bigl[\sin(\pi x)-x^2\bigr]\,dx +\int_{a}^{2}\bigl[x^2-\sin(\pi x)\bigr]\,dx.

Passo 5

Calculamos as primitivas:
\int \sin(\pi x)\,dx = -\frac{\cos(\pi x)}{\pi}, \qquad \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}.
Portanto
\int_{0}^{a}\bigl[\sin(\pi x)-x^2\bigr]dx =\Bigl[-\tfrac{\cos(\pi x)}{\pi}-\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{a} =\frac{1-\cos(\pi a)}{\pi}-\frac{a^3}{3},
\int_{a}^{2}\bigl[x^2-\sin(\pi x)\bigr]dx =\Bigl[\tfrac{x^3}{3}+\tfrac{\cos(\pi x)}{\pi}\Bigr]_{a}^{2} =\frac{8}{3}-\frac{a^3}{3}+\frac{1-\cos(\pi a)}{\pi}.

Passo 6

Somando as duas parcelas,
A =\frac{8}{3}-\frac{2a^3}{3}+\frac{2\bigl(1-\cos(\pi a)\bigr)}{\pi}.
Substituindo a\approx0{,}7869 e \cos(\pi a)\approx-0{,}781, obtemos numericamente
A\approx3{,}48.

Resposta

A área da região limitada por y=\sin(\pi x), y=x^2 e x=2 é aproximadamente 3{,}48 unidades de área.

Exercícios relacionados