Esboce a região limitada entre as curvas dadas e calcule sua área.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da região limitada pelas curvas
,
e pela reta vertical
, e o cálculo da área dessa região. Para isso vamos precisar:
- Encontrar os pontos de interseção de
e . - Determinar qual curva fica acima em cada subintervalo.
- Expressar a área como integrais definidas e avaliá-las.
Passo 2
Procuramos soluções de
Obviamente
é uma solução. Há outra solução positiva em
. Chamemos-na de
, de modo que
Passo 3
Para achar numericamente
usamos, por exemplo, o método de Newton ou uma calculadora:
chutando e iterando, obtemos
chutando
Passo 4
No intervalo
verifica-se que
, enquanto em
temos
. Logo a região fechada é dividida em duas “fatias”:
- Para
, a curva superior é e a inferior é . - Para
, a curva superior é e a inferior é .
Assim a área vale
Passo 5
Calculamos as primitivas:
Portanto
Passo 6
Somando as duas parcelas,
Substituindo
e
, obtemos numericamente
Resposta
A área da região limitada por
,
e
é aproximadamente
unidades de área.