Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com velocidade \mathrm{v}(\mathrm{t})=\mathrm{t}^{\wedge} 3 - 6t em metros por segundo para 0 \leq t \leq 4. Encontre:
(i) o deslocamento
(ii) a distância total percorrida no intervalo de tempo dado.

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula se move em linha reta com velocidade v(t)=t^3-6t m/s para 0\le t\le4. Pedem (i) o deslocamento e (ii) a distância total percorrida. Vamos usar integração da velocidade para o deslocamento e integração de |v(t)| para a distância.

Passo 2

Para o deslocamento, integramos v(t) de 0 a 4:
\int_{0}^{4}(t^3-6t)\,dt.
Calculando,
\left.\frac{t^4}{4}-3t^2\right|_{0}^{4} =\bigl(64-48\bigr)-0 =16.
Logo, o deslocamento é 16 m.

Passo 3

Para a distância total, achamos onde v(t) muda de sinal, resolvendo
t^3-6t=0\implies t(t^2-6)=0
portanto t=0 ou t=\pm\sqrt{6}. No intervalo [0,4] interessam t=0 e t=\sqrt{6}. Testando um ponto em (0,\sqrt6), por exemplo t=1, temos v(1)=1-6<0; para t>\sqrt6, v(t)>0.

Passo 4

A distância total é
\int_{0}^{4}|v(t)|\,dt =-\int_{0}^{\sqrt{6}}(t^3-6t)\,dt +\int_{\sqrt{6}}^{4}(t^3-6t)\,dt.
Calculando cada parte:
-\int_{0}^{\sqrt{6}}(t^3-6t)\,dt =-\Bigl[\frac{t^4}{4}-3t^2\Bigr]_{0}^{\sqrt{6}} =-\bigl(9-18\bigr) =9,
\int_{\sqrt{6}}^{4}(t^3-6t)\,dt =\Bigl[\frac{t^4}{4}-3t^2\Bigr]_{\sqrt{6}}^{4} =(16)-(-9) =25.
Somando, a distância total é 9+25=34 m.

Resposta

(i) 16 m\n(ii) 34 m

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