Esboce a região delimitada pelas curvas y=\operatorname{sen} x, y=x, x=\pi / 2, x=2 \pi e encontre sua área.

Passo 1

O enunciado pede a área da região no plano xy limitada pelas curvas y=\sin x, y=x, x=\tfrac{\pi}{2} e x=2\pi. Vamos usar integração em x, calculando a diferença entre a função de cima e a de baixo num intervalo de x.

Passo 2

Para esboçar, note que em todo x\in\bigl[\tfrac{\pi}{2},2\pi\bigr] vale x\ge \tfrac{\pi}{2}>1 e \sin x\le1. Logo y=x
fica acima de y=\sin x
neste intervalo, e as retas verticais x=\tfrac{\pi}{2} e x=2\pi fecham a região.

Passo 3

A área A dessa região é
A = \int_{\frac{\pi}{2}}^{2\pi}\bigl[x - \sin x\bigr]\,dx.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int x\,dx = \frac{x^2}{2}, \qquad \int \sin x\,dx = -\cos x.
Portanto
A = \left[\frac{x^2}{2} + \cos x\right]_{x=\frac{\pi}{2}}^{x=2\pi}.

Passo 5

Avaliação nos limites:
em x=2\pi:
\frac{(2\pi)^2}{2} + \cos(2\pi) = 2\pi^2 + 1,
em x=\tfrac{\pi}{2}:
\frac{\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)^2}{2} + \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \frac{\pi^2}{8} + 0.
Subtraindo,
A = \bigl(2\pi^2 + 1\bigr) - \frac{\pi^2}{8} = \frac{16\pi^2 - \pi^2}{8} + 1 = \frac{15\pi^2}{8} + 1.

Resposta

A = \frac{15\pi^2}{8} + 1.

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