Usando o método das frações parciais calcule:
integral x-1x^2+4 x+3 d x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral integral x-1x^2+4x+3,dx, usando o método de frações parciais, que exige fatorar o denominador e decompor a função racional em parcelas simples.

Passo 2

Fatorar o denominador identificando raízes lineares:
x^2+4x+3 = (x+1)(x+3)

Passo 3

Escrever a decomposição em frações parciais:
x-1(x+1)(x+3) = Ax+1 + Bx+3

Passo 4

Multiplicar ambos os lados pelo denominador comum (x+1)(x+3) para igualar numeradores:
x-1 = A(x+3) + B(x+1)

Passo 5

Comparar coeficientes de x e termos independentes:
A + B = 1,3A + B = -1

Passo 6

Resolver o sistema: de A+B=1 vem B=1-A. Substituindo em 3A+B=-1 3A+1-A=-1 e então 2A=-2, logo A=-1 e B=2.

Passo 7

Reescrever a integral com os valores encontrados:
integralx-1x^2+4x+3,dx = integrall(-1x+1+2x+3r)dx

Passo 8

Integrar termo a termo usando integral1x+adx=ln|x+a|+C:
integral -1x+1dx = -ln|x+1|, integral 2x+3dx = 2ln|x+3|

Resposta

-ln|x+1| + 2ln|x+3| + C

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