Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização (L(x, y)) da função naquele ponto.
(f(x, y)=e^{-x y} \cos y,
(0,3)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) explicar por que a função é diferenciável no ponto dado e (2) encontrar a linearização L(x,y) naquele ponto.
As informações fornecidas são: a função
f(x,y)=e^{-x y}\cos y
e o ponto (0,3).
Passo 2
Primeiro, vou lembrar o que significa ser diferenciável num ponto (vou escrever isso de forma bem direta para você usar na prova). Dizemos que f é diferenciável em (a,b) se existe uma transformação linear (o diferencial) que aproxima f perto de (a,b) de forma que o erro seja pequeno em relação à distância ao ponto. Em fórmula, com h=(h_1,h_2):
onde \|(h_1,h_2)\|=\sqrt{h_1^2+h_2^2} e o(\|(h_1,h_2)\|) significa “algo que dividido por \|(h_1,h_2)\| tende a 0” quando (h_1,h_2)\to(0,0).
Passo 3
Uma condição prática muito usada na prova: se as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} existem numa vizinhança de (a,b) e são contínuas em (a,b), então f é diferenciável em (a,b). Vou usar essa condição porque aqui as funções envolvidas são suaves (exponencial, seno, cosseno) — vou mostrar isso passo a passo.
Passo 4
Agora calculo as derivadas parciais de f. Vou explicar cada regra usada:
Regra da cadeia: para \frac{d}{dx}e^{g(x)}=g'(x)e^{g(x)}.
Regra do produto: \frac{\partial}{\partial x}(u\cdot v)=u_x\cdot v+u\cdot v_x.
A função é f(x,y)=e^{-x y}\cos y.
Derivando em relação a x, trato \cos y como constante (pois é função só de y) e aplico a regra da cadeia à parte exponencial:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{-x y}\big)\cdot \cos y.
A derivada de e^{-x y} em relação a x é (-y)e^{-x y} (pois a derivada do expoente -x y em x é -y). Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-y\,e^{-x y}\cos y.
Passo 5
Agora derivando em relação a y. Aqui uso a regra do produto entre e^{-x y} e \cos y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -e^{-x y}\big(x\cos y + \sin y\big).
Passo 6
Agora com as fórmulas das derivadas parciais em mãos, observo que cada expressão é composta por combinações (produto, soma, composição) de funções elementares x\mapsto x, y\mapsto y, e^{(\cdot)}, \cos e \sin. Todas essas funções são infinitamente diferenciáveis e, em particular, contínuas. Como as derivadas parciais são combinações contínuas dessas funções, concluímos que \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} são continúas em toda a reta (na verdade em todo \mathbb{R}^2). Pela condição prática do passo anterior, isso implica que f é diferenciável em qualquer ponto, em particular em (0,3).
Passo 7
Agora vamos avaliar f e as derivadas parciais em (0,3). Primeiro o valor da função: