Questão 1 (3.0 pontos):
Calcule as integrais justificando os cálculos.
Calcule as integrais justificando os cálculos.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que se pede:
- A variável de integração é
. - O integrando é
. - É uma integral indefinida, então a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Observação e escolha da mudança de variável: como a raiz de quarto aparece com a expressão
no denominador, é natural fazer a substituição
Isso simplifica a raiz. Agora escrevemos
e
em função de
:
Passo 3
Reescrevendo a integral em
: a raiz vira
. Substituindo
e
obtemos
Agora fazemos a divisão por potências para separar em termos mais simples:
Portanto a integral fica
Passo 4
Fórmula de integração que vamos usar: regra da potência.
Seja , então
Seja
Aqui
é a variável de integração (já usamos
como
),
é o expoente. Essa fórmula vem de inverter a derivação de
pela regra do expoente.
Passo 5
Aplicando a regra termo a termo ao primeiro termo
:
Expliquei: somamos
ao expoente
obtendo
e dividimos por esse novo expoente.
Passo 6
Agora o segundo termo
. Saímos o constante
e integramos
:
Dividindo por
é o mesmo que multiplicar por
, então
pois
.
Passo 7
Somando os dois resultados e adicionando a constante de integração
, obtemos a primitiva em
:
Passo 8
Voltando à variável original
usando
, a primitiva fica
Passo 9
Verificação rápida (opcional, mas boa prática): diferenciando
temos, por regra da cadeia,
e isso é
que é exatamente o integrando original. Assim a primitiva está correta.