Questão 1 (3.0 pontos):
Calcule as integrais justificando os cálculos.
\int \frac{x}{\sqrt[4]{x+33}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x}{\sqrt[4]{x+33}}\,dx.
Informações dadas e o que se pede:
  • A variável de integração é x.
  • O integrando é \dfrac{x}{\sqrt[4]{x+33}}=\dfrac{x}{(x+33)^{1/4}}.
  • É uma integral indefinida, então a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Observação e escolha da mudança de variável: como a raiz de quarto aparece com a expressão x+33 no denominador, é natural fazer a substituição
u = x+33.
Isso simplifica a raiz. Agora escrevemos x e dx em função de u:
x = u-33,\qquad dx = du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em u: a raiz vira \sqrt[4]{x+33}=(u)^{1/4}. Substituindo x e dx obtemos
\int \frac{x}{\sqrt[4]{x+33}}\,dx = \int \frac{u-33}{u^{1/4}}\,du.
Agora fazemos a divisão por potências para separar em termos mais simples:
\frac{u-33}{u^{1/4}} = u^{1-\tfrac{1}{4}} - 33\,u^{-\tfrac{1}{4}} = u^{3/4} - 33\,u^{-1/4}.
Portanto a integral fica
\int \left(u^{3/4} - 33\,u^{-1/4}\right)\,du.

Passo 4

Fórmula de integração que vamos usar: regra da potência.
Seja n\neq -1, então
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui u é a variável de integração (já usamos u como x+33), n é o expoente. Essa fórmula vem de inverter a derivação de u^{n+1} pela regra do expoente.

Passo 5

Aplicando a regra termo a termo ao primeiro termo u^{3/4}:
\int u^{3/4}\,du = \frac{u^{3/4+1}}{3/4+1} = \frac{u^{7/4}}{7/4} = \frac{4}{7}\,u^{7/4}.
Expliquei: somamos 1 ao expoente 3/4 obtendo 7/4 e dividimos por esse novo expoente.

Passo 6

Agora o segundo termo -33\,u^{-1/4}. Saímos o constante -33 e integramos u^{-1/4}:
\int -33\,u^{-1/4}\,du = -33\cdot\frac{u^{-1/4+1}}{-1/4+1} = -33\cdot\frac{u^{3/4}}{3/4}.
Dividindo por 3/4 é o mesmo que multiplicar por 4/3, então
-33\cdot\frac{u^{3/4}}{3/4} = -33\cdot\frac{4}{3}\,u^{3/4} = -44\,u^{3/4},
pois 33\cdot\frac{4}{3}=11\cdot4=44.

Passo 7

Somando os dois resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva em u:
\frac{4}{7}\,u^{7/4} - 44\,u^{3/4} + C.

Passo 8

Voltando à variável original x usando u=x+33, a primitiva fica
\frac{4}{7}\,(x+33)^{7/4} - 44\,(x+33)^{3/4} + C.

Passo 9

Verificação rápida (opcional, mas boa prática): diferenciando
F(x)=\frac{4}{7}(x+33)^{7/4}-44(x+33)^{3/4}
temos, por regra da cadeia,
F'(x) = \frac{4}{7}\cdot\frac{7}{4}(x+33)^{3/4} -44\cdot\frac{3}{4}(x+33)^{-1/4} = (x+33)^{3/4} -33(x+33)^{-1/4},
e isso é
\frac{(x+33)-33}{(x+33)^{1/4}}=\frac{x}{(x+33)^{1/4}},
que é exatamente o integrando original. Assim a primitiva está correta.

Resposta

\frac{4}{7}\,(x+33)^{7/4} - 44\,(x+33)^{3/4} + C

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