Propriedades-Sejam boldsymbola e boldsymbolb números reais, boldsymbolm e boldsymboln números inteiros, temos:
c) a^m times a^n=a^m+n

Passo 1

O enunciado pede para provar a propriedade de potências
a^mtimes a^n=a^m+n
onde a é um número real não nulo e m,n são inteiros. O conteúdo aqui é a definição de potência com expoente inteiro e a manipulação de produtos.

Passo 2

Definimos primeiro potências para expoentes não negativos. Se m,n>=0 são inteiros, então
a^m = underbraceacdot acdot dotscdot am fatores, a^n = underbraceacdot acdot dotscdot an fatores,
e por convenção a^0=1.

Passo 3

Para m,n>=0 aplicamos diretamente a definição de produto:
a^mtimes a^n =l(underbraceacdotdotscdot amr)timesl(underbraceacdotdotscdot anr) =underbraceacdotdotscdot am+n =a^m+n

Passo 4

Agora estendemos para expoentes negativos usando
a^-k=1a^k(k>0)
Tomemos por exemplo m<0 e n>=0. Escrevemos m=-p com p>0, então
a^mtimes a^n =a^-ptimes a^n =1a^ptimes a^n =a^na^p =1a^p-n =a^n-p =a^m+n
Casos em que ambos são negativos ou só n<0 seguem analogamente, sempre recuperando a^m+n.

Passo 5

Como cobrimos os casos m,n>=0, m<0,n>=0, m>=0,n<0 e m,n<0, concluímos que para quaisquer inteiros m,n vale
a^mtimes a^n=a^m+n

Resposta

a^mtimes a^n=a^m+n

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