Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo y:
x=csc y, y=x^7 / 4, y=3 pi4, x=0

Passo 1

Vamos desenhar e entender bem a região: ela é limitada à esquerda por x=0 (eixo y), abaixo pela curva
y = x^7/4,
à direita pela curva
x = csc y
e acima pela reta
y = tfrac3pi4
Quando você fecha esse polígono no plano, obtém um domínio convexo cujos vértices são
(0,0), a interseção de y=x^7/4 com x=csc y, depois o ponto l(csc(tfrac3pi4),tfrac3pi4r) e por fim (0,tfrac3pi4).
Para calcular o volume do sólido de revolução em torno do eixo y, vamos usar o método das cascas cilíndricas (casca de raio x e altura “vertical”).

Passo 2

Precisamos achar a interseção entre
y = x^7/4 e x = csc y
Isolando x na primeira dá x = y^4/7, e igualando:
y^4/7 = csc y
Essa equação não tem solução elementar, mas numericamente obtemos
y0 approx 1,16, x0 = y0^4/7 approx 1,09

Passo 3

Agora, para cada x fixo a casca cilíndrica tem raio x e altura igual à diferença entre a cota superior y=3pi/4 e a cota inferior, que muda conforme x:
  • Se 0<= x<= x0, a curva inferior é y=x^7/4.
  • Se x0<= x<= csc(3pi/4)=raiz2, a curva inferior é dada pela inversa de x=csc y, ou seja
    ;y=arcsin(1/x).

Passo 4

Logo o volume é a soma de duas integrais de casca:
V ;=; 2pi gl[ integral0^,x0 xl(tfrac3pi4-x^7/4r),dx ;+; integralx0^,raiz2 xl(tfrac3pi4-arcsin!tfrac1xr),dx gr]

Passo 5

Podemos até computar as primitivas:
  1. integral xl(tfrac3pi4-x^7/4r),dx =tfrac3pi8,x^2;-;x^,11/411/4
  2. integral xl(tfrac3pi4-arcsintfrac1xr),dx
    pode ser feita por partes ( u=tfrac3pi4-arcsin(1/x), dv=x,dx), mas dá uma expressão em termos de
    x^2arcsin(1/x) e raizx^2-1.
Ao avaliar numericamente essas duas integrais no intervalo xin[0,x0] e xin[x0,raiz2], com x0approx1,09, obtemos
V approx 10,11

Resposta

boxedV ;=; 2pil[!!integral0^,x0xl(tfrac3pi4-x^7/4r),dx +integralx0^raiz2xl(tfrac3pi4-arcsintfrac1xr),dxr] approx 10,11
onde x0 é a solução de y^4/7=csc y (~ 1,09).

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