Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo
:
Passo 1
Vamos desenhar e entender bem a região: ela é limitada à esquerda por
(eixo
), abaixo pela curva
à direita pela curva
e acima pela reta
Quando você fecha esse polígono no plano, obtém um domínio convexo cujos vértices são
, a interseção de
com
, depois o ponto
e por fim
.
Para calcular o volume do sólido de revolução em torno do eixo , vamos usar o método das cascas cilíndricas (casca de raio
e altura “vertical”).
Para calcular o volume do sólido de revolução em torno do eixo
Passo 2
Precisamos achar a interseção entre
Isolando
na primeira dá
, e igualando:
Essa equação não tem solução elementar, mas numericamente obtemos
Passo 3
Agora, para cada
fixo a casca cilíndrica tem raio
e altura igual à diferença entre a cota superior
e a cota inferior, que muda conforme
:
- Se
, a curva inferior é . - Se
, a curva inferior é dada pela inversa de , ou seja
.
Passo 4
Logo o volume é a soma de duas integrais de casca:
Passo 5
Podemos até computar as primitivas:
-
-
pode ser feita por partes (, ), mas dá uma expressão em termos de
e .
Ao avaliar numericamente essas duas integrais no intervalo
e
, com
, obtemos
Resposta
onde
é a solução de
(~
).