Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo x:
y=raiz4+2 x-x^2, x=2, y=0

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada por
  1. y=raiz4+2x-x^2,
  2. y=0,
  3. x=2.
    O método de discos (washers) diz que
V = pi integralx=a^x=b l(raio exteriorr)^2,dx
onde o raio exterior é y=raiz4+2x-x^2 e os limites a,b são as interseções da curva com y=0 truncadas por x=2.

Passo 2

Encontramos primeiro as raízes de
4+2x - x^2 = 0
usando a fórmula quadrática:
x = -2 pm raiz2^2 -4cdot(-1)cdot4-2 = -2 pm raiz4+16-2 = -2 pm raiz20-2 = 1 pm raiz5
Como a reta vertical x=2 fica entre 1-raiz5 e 1+raiz5, tomamos
a = 1-raiz5, b = 2

Passo 3

Pela fórmula de discos,
V = pi integral1-raiz5^2 l(raiz4+2x - x^2r)^2,dx = pi integral1-raiz5^2 l(4 + 2x - x^2r),dx

Passo 4

Calculemos a integral:
integral l(4+2x - x^2r),dx = 4x + x^2 - x^33 + C
Avaliando de x=1-raiz5 até x=2:
l[4x + x^2 - tfracx^33r]1-raiz5^2 = l(8+4 - tfrac83r) - l(4(1-raiz5)+(1-raiz5)^2 - tfrac(1-raiz5)^33r)
Fazendo as contas (detalhadas na análise) obtemos
integral1-raiz5^2 (4+2x - x^2),dx = 14 + 10raiz53
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V = pi ,14 + 10raiz53

Resposta

V = pi,(14 + 10raiz5)3

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