Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo y:
y=1-x^2(x>0), x=0, y=0, y=2

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região do primeiro quadrante delimitada por
;y=1-x^2,;x=0,;y=0,;y=2.
O conteúdo aqui é cálculo de volume por método de cascas cilíndricas (shells) ou discos, sabendo que a curva principal é a parábola invertida y=1-x^2.

Passo 2

Primeiro encontramos até onde a região existe efetivamente. Resolvendo
1-x^2=0
vem x=1 (em x>0), e
1-x^2=2
não tem solução real. Logo a região fica entre y=0 e y=1; a reta y=2 não intercepta a parábola e não contribui.

Passo 3

Usamos cascas cilíndricas: em cada xin[0,1] temos uma casca de raio r=x, altura
h(x) = ytopo - ybase = (1 - x^2) - 0 = 1 - x^2,
e espessura dx. A fórmula é
V = integralx=0^1 2pi,r,h(x),dx = integral0^1 2pi,x,(1-x^2),dx

Passo 4

Calculando o integral:
V = 2pi integral0^1 l(x - x^3r),dx =2pil[tfrac12 x^2 - tfrac14 x^4r]0^1 =2pil(tfrac12-tfrac14r) =2picdottfrac14 =pi2

Resposta

pi2

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