Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas gira em torno do eixo x :
Determine a área da região limitada pelas curvas dadas.
y=sen x, y=cos x, x=0, x=pi4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região no plano limitada pelas curvas y=sin x, y=cos x, e pelas retas verticais x=0 e x=pi/4. O assunto é cálculo de área de uma região pelo método da integral definida, e vamos precisar saber qual função está acima da outra no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, encontramos onde sin x e cos x se igualam. Resolvemos sin x=cos x em [0,pi/4]: isso ocorre quando x=pi/4. No intervalo de 0 até pi/4, temos cos x>sin x, pois cos0=1>0=sin0 e as funções trocam de posição só em x=pi/4.

Passo 3

Como cos x é a curva superior e sin x a inferior, a área da região é dada por
A=integral0^pi/4l(cos x-sin xr),dx
Aqui usamos a ideia de que a área entre duas curvas y=f(x) e y=g(x), com f(x)>= g(x), é integral(f-g)dx.

Passo 4

Agora calculamos a integral. Sabemos que
integralcos x,dx=sin x, integral(-sin x),dx=cos x
de modo que
integral(cos x-sin x),dx=sin x+cos x

Passo 5

Basta avaliar de 0 a pi/4:
A=l[sin x+cos xr]0^pi/4 =l(sintfracpi4+costfracpi4r)-l(sin0+cos0r) =l(tfracraiz22+tfracraiz22r)-(0+1) =raiz2-1

Resposta

raiz2-1

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