Temos a função definida por partes conforme abaixo e queremos esboçar o gráfico e calcular limites unilaterais e bilaterais em x=–1 e x=1, usando a definição de limite por partes:
f(x)= x+1,&x<-1, x^2,&-1<= x<=1, 2-x,&x>1
Passo 2
Para esboçar o gráfico, analisamos cada ramo:
Para x< -1: reta y=x+1. No ponto x=-1 temos um círculo aberto em (-1,0), pois x=-1 não pertence a este ramo.
Para -1<= x<=1: parábola y=x^2, incluindo as extremidades, com círculos fechados em (-1,1) e (1,1).
Para x>1: reta y=2-x. Em x=1 marcamos círculo aberto em (1,1), pois este ponto não pertence a x>1.
Desse modo obtemos o esboço completo.
Passo 3
Agora calculamos os limites em xto -1:
Para limxto -1^-f(x), usamos o ramo x+1. Substituindo xto -1 obtemos
(-1)+1=0
Para limxto -1^+f(x), usamos o ramo x^2. Substituindo xto -1 obtemos
(-1)^2=1
Como 0neq1, o limite bilateral limxto -1f(x) não existe.
Passo 4
Agora calculamos os limites em xto1:
Para limxto1^-f(x), usamos o ramo x^2. Substituindo xto1 obtemos
1^2=1
Para limxto1^+f(x), usamos o ramo 2-x. Substituindo xto1 obtemos
2-1=1
Como ambos os limites laterais valem 1, temos limxto1f(x)=1.
Resposta
a) 0; b) 1; c) não existe, pois 0neq1; d) 1; e) 1; f) 1.