faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir, indique a razão disto.
x+1 & se x<-1 x^2 & se -1 <= x <= 1 2-x & se 1
(a) lim x -1^- f(x);
(b) lim x -1^+ f(x) ;
© lim x -1 f(x);
(d) lim x 1^- f(x);
(e) lim x 1^+ f(x); (f) lim x 1 f(x)

Passo 1

Temos a função definida por partes conforme abaixo e queremos esboçar o gráfico e calcular limites unilaterais e bilaterais em x=–1 e x=1, usando a definição de limite por partes:
f(x)= x+1,&x<-1, x^2,&-1<= x<=1, 2-x,&x>1

Passo 2

Para esboçar o gráfico, analisamos cada ramo:
  • Para x< -1: reta y=x+1. No ponto x=-1 temos um círculo aberto em (-1,0), pois x=-1 não pertence a este ramo.
  • Para -1<= x<=1: parábola y=x^2, incluindo as extremidades, com círculos fechados em (-1,1) e (1,1).
  • Para x>1: reta y=2-x. Em x=1 marcamos círculo aberto em (1,1), pois este ponto não pertence a x>1.
    Desse modo obtemos o esboço completo.

Passo 3

Agora calculamos os limites em xto -1:
  • Para limxto -1^-f(x), usamos o ramo x+1. Substituindo xto -1 obtemos
(-1)+1=0
  • Para limxto -1^+f(x), usamos o ramo x^2. Substituindo xto -1 obtemos
(-1)^2=1
Como 0neq1, o limite bilateral limxto -1f(x) não existe.

Passo 4

Agora calculamos os limites em xto1:
  • Para limxto1^-f(x), usamos o ramo x^2. Substituindo xto1 obtemos
1^2=1
  • Para limxto1^+f(x), usamos o ramo 2-x. Substituindo xto1 obtemos
2-1=1
Como ambos os limites laterais valem 1, temos limxto1f(x)=1.

Resposta

a) 0; b) 1; c) não existe, pois 0neq1; d) 1; e) 1; f) 1.

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