Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em 360^circ. da curva y=x^2-1 em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em 360° a região entre a curva y = x² − 1 e o eixo x. Vamos usar o método dos discos (ou arruelas), que diz que ao girar em torno do eixo x o volume é dado por V = π ∫ₐᵇ [R(x)]² dx, onde R(x) é a distância (raio) do eixo até a curva.

Passo 2

Primeiro, achamos os pontos em que a curva y = x² − 1 intercepta o eixo x. Isso ocorre quando y = 0, ou seja:
x^2 - 1 = 0
x = pm 1
Assim o intervalo de integração é de x = -1 até x = 1.

Passo 3

Entre -1 e 1, a curva y = x² − 1 fica abaixo do eixo x, logo o raio da arruela é a distância positiva até a curva:
R(x) = |y| = -(x^2 - 1) = 1 - x^2

Passo 4

Aplicando a fórmula do volume:
V = pi integral-1^1 [1 - x^2]^2 ,dx

Passo 5

Expandindo o integrando:
(1 - x^2)^2 = 1 - 2x^2 + x^4
Logo o volume vira:
V = pi integral-1^1 (1 - 2x^2 + x^4) ,dx

Passo 6

Calculando a integral:
integral (1 - 2x^2 + x^4) ,dx = x - tfrac2x^33 + tfracx^55 + C
Avaliaremos de -1 a 1:
Em x = 1:
1 - tfrac23 + tfrac15 = tfrac15 - 10 + 315 = tfrac815
Em x = -1:
-1 + tfrac23 - tfrac15 = -tfrac15 - 10 + 315 = -tfrac815
Diferença:
tfrac815 - l(-tfrac815r) = tfrac1615

Passo 7

Portanto:
V = pi cdot tfrac1615 = tfrac16pi15

Resposta

V = \frac{16\pi}{15}

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