Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em
. da curva
em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em 360° a região entre a curva y = x² − 1 e o eixo x. Vamos usar o método dos discos (ou arruelas), que diz que ao girar em torno do eixo x o volume é dado por V = π ∫ₐᵇ [R(x)]² dx, onde R(x) é a distância (raio) do eixo até a curva.
Passo 2
Primeiro, achamos os pontos em que a curva y = x² − 1 intercepta o eixo x. Isso ocorre quando y = 0, ou seja:
Assim o intervalo de integração é de x = -1 até x = 1.
Passo 3
Entre -1 e 1, a curva y = x² − 1 fica abaixo do eixo x, logo o raio da arruela é a distância positiva até a curva:
Passo 4
Aplicando a fórmula do volume:
Passo 5
Expandindo o integrando:
Logo o volume vira:
Passo 6
Calculando a integral:
Avaliaremos de -1 a 1:
Em x = 1:
Em x = -1:
Diferença:
Passo 7
Portanto:
Resposta
V = \frac{16\pi}{15}