Resolva utilizando frações parciais
integral x-1(x-2)^2(x-3)^3 d x

Passo 1

O exercício pede calcular a integral integral x-1(x-2)^2,(x-3)^3 ,dx usando decomposição em frações parciais. O conteúdo é justamente frações parciais com fatores lineares repetidos, e vamos precisar lembrar de incluir termos até a maior multiplicidade de cada fator.

Passo 2

Para decompor, escrevemos
x-1(x-2)^2(x-3)^3=Ax-2+B(x-2)^2+Cx-3+D(x-3)^2+E(x-3)^3

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-2)^2(x-3)^3, obtemos
x-1=A(x-2)(x-3)^3+B(x-3)^3+C(x-2)^2(x-3)^2+D(x-2)^2(x-3)+E(x-2)^2

Passo 4

Para achar B e E rapidamente, basta usar valores estratégicos:
— Em x=2: 1=2-1=B(2-3)^3=-B B=-1.
— Em x=3: 2=3-1=E(3-2)^2=E E=2.

Passo 5

Para A,C,D, com B=-1 e E=2, expandimos o polinômio e igualamos coeficientes de x^4,x^3,x^2,x^1, e constante, levando ao sistema:
A+C=0,-11A-10C+D-1=0,45A+37C-7D+9+2=0,-81A-60C+16D-27-4cdot2=1,54A+36C-12D+27+4cdot2=-1

Passo 6

Resolvendo, achamos A=-4, C=4 e D=-3.

Passo 7

Assim a decomposição final é
$$\frac{x-1}{(x-2)2(x-3)3}=-\frac{4}{x-2}-\frac{1}{(x-2)2}+\frac{4}{x-3}-\frac{3}{(x-3)2}+\frac{2}{(x-3)^3}.
$$

Passo 8

Agora integramos termo a termo usando integral (x-a)^-ndx=(x-a)^-n+1/(-n+1) quando nneq1 e integral (x-a)^-1dx=ln|x-a|:
integral -4x-2dx=-4ln|x-2|.
integral -1(x-2)^2dx=1x-2.
integral 4x-3dx=4ln|x-3|.
integral -3(x-3)^2dx=3x-3.
integral 2(x-3)^3dx=-1(x-3)^2

Resposta

-4ln|x-2|+1x-2+4ln|x-3|+3x-3-1(x-3)^2+C

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