Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região R limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
R é limitada por y=\sqrt[3]{x} e x=4 y. Considere a rotação de R em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região R limitada pelas curvas y = \sqrt[3]{x} e
x = 4y.
O método mais direto é o de discos (ou anéis): para cada x entre os extremos de R, tomamos um “furo” de raio interno e um disco de raio externo. Precisaremos:
  1. Encontrar os extremos em x onde as curvas se cruzam.
  2. Determinar, em cada x, as funções que dão o raio externo e interno ao girar em torno de x.
  3. Montar e calcular a integral de volume

Passo 2

As interseções vêm do sistema
y^3 = x, \quad x = 4y
Substituindo x=4y em y^3=x
y^3 = 4y \;\Longrightarrow\; y\,(y^2 - 4)=0 \;\Longrightarrow\; y=0,\,-2,\,2.
Para esses y, temos x=4y igual a 0, -8 e 8. Assim R vai de x=-8 a x=8.

Passo 3

Invertendo as curvas em termos de x: \sqrt[3]{x} e y = x/4.
Ao girar em torno do eixo x, o raio efetivo é \lvert y\rvert. Para -8\le x\le8 verifica-se
\bigl|\sqrt[3]{x}\bigr|\ge \bigl|x/4\bigr|,
com igualdade apenas em x=\pm8,0. Então em qualquer x temos
– raio externo R(x)=\bigl|\sqrt[3]{x}\bigr|,
– raio interno r(x)=\bigl|x/4\bigr|.

Passo 4

Pela fórmula de anéis, o volume é
V = \pi \int_{x=-8}^{8} \bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr]\,dx = \pi \int_{-8}^{8} \Bigl(\bigl(\sqrt[3]{x}\bigr)^2 - \bigl(\tfrac{x}{4}\bigr)^2\Bigr)\,dx.
Como o integrando é função par, fica
V = 2\pi \int_{0}^{8} \Bigl(x^{2/3} - \tfrac{x^2}{16}\Bigr)\,dx.

Passo 5

Calculemos as duas integrais:
\int_{0}^{8} x^{2/3}\,dx = \biggl[\frac{x^{5/3}}{5/3}\biggr]_{0}^{8} = \frac{3}{5}\,8^{5/3} = \frac{3}{5}\cdot2^5 = \frac{96}{5},
\int_{0}^{8} \frac{x^2}{16}\,dx = \frac{1}{16}\,\biggl[\frac{x^3}{3}\biggr]_{0}^{8} = \frac{1}{48}\,8^3 = \frac{512}{48} = \frac{32}{3}.
Logo
V = 2\pi\Bigl(\tfrac{96}{5}-\tfrac{32}{3}\Bigr) = 2\pi\;\frac{288-160}{15} = \frac{256\pi}{15}.

Resposta

\boxed{\frac{256\pi}{15}}

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