A posição de uma partícula que se move no espaço, no instante t \geq 0, é dada por
x(t)=2 t ; y(t)=3 ; z(t)=4-t^{2} .
a) Escreva a função vetorial que descreve a trajetória da partícula.
b) Determine os vetores velocidade e aceleração, bem como a velocidade e aceleração escalar em t=2.

Passo 1

O enunciado dá as funções
x(t)=2t,\quad y(t)=3,\quad z(t)=4-t^{2}
para a posição de uma partícula no instante t\ge0. O conteúdo aqui é funções vetoriais de posição, derivação para obter velocidade e aceleração, e cálculo de módulo (velocidade escalar e aceleração escalar) em um tempo específico.

Passo 2

A função vetorial que descreve a trajetória é
\mathbf{r}(t)=\bigl(x(t),\,y(t),\,z(t)\bigr)=\langle 2t,\,3,\,4-t^{2}\rangle.

Passo 3

A velocidade é a derivada de \mathbf{r}(t). Calculando componente a componente:
\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle (2t)',\;3',\;(4-t^{2})'\rangle =\langle 2,\,0,\,-2t\rangle.

Passo 4

A aceleração é a derivada de \mathbf{v}(t). Derivando cada componente:
\mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t)=\langle 2',\;0',\;(-2t)'\rangle =\langle 0,\,0,\,-2\rangle.

Passo 5

Em t=2, a velocidade vale
\mathbf{v}(2)=\langle 2,\,0,\,-4\rangle,
e sua magnitude (velocidade escalar) é
\|\mathbf{v}(2)\|=\sqrt{2^{2}+0^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}.
A aceleração em t=2 é
\mathbf{a}(2)=\langle 0,\,0,\,-2\rangle,
e sua magnitude (aceleração escalar) é
\|\mathbf{a}(2)\|=\sqrt{0^{2}+0^{2}+(-2)^{2}}=2.

Resposta

a) \displaystyle \mathbf{r}(t)=\langle 2t,\,3,\,4-t^{2}\rangle.
b) \displaystyle \mathbf{v}(t)=\langle 2,\,0,\,-2t\rangle,\quad \mathbf{a}(t)=\langle 0,\,0,\,-2\rangle, \displaystyle \|\mathbf{v}(2)\|=2\sqrt{5},\quad \|\mathbf{a}(2)\|=2.

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