Exercício 5: Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta. (Definição: Uma função f é ímpar se está definida em um intervalo simétrico em relação à origem e se f(-x)=f(x) qualquer que seja x \in D(f).)
(iii) \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x
( ) Se a função f é ímpar, então a integral (iii) pode convergir ou divergir.

Passo 1

O enunciado trata da integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx
para uma função f ímpar (isto é, f(-x)=-f(x)) definida em todo \mathbb{R}. O tema é convergência de integrais impróprias em intervalos simétricos e a propriedade de cancelamento de funções ímpares.

Passo 2

Pela definição de integral imprópria em \mathbb{R}, dizemos que
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx
converge se e somente se os limites
\lim_{A\to\infty}\int_{-A}^{0}f(x)\,dx \quad\text{e}\quad \lim_{B\to\infty}\int_{0}^{B}f(x)\,dx
existirem como números finitos. Em seguida, a integral completa é a soma desses dois limites.

Passo 3

Quando f é ímpar, temos a identidade formal
\int_{-A}^{A}f(x)\,dx = 0
para todo A>0. Contudo, isso vale apenas no sentido do valor principal de Cauchy; para a integral imprópria tradicional, precisamos que
\int_{0}^{\infty}f(x)\,dx \quad\text{e}\quad \int_{-\infty}^{0}f(x)\,dx
converjam separadamente.

Passo 4

Mostramos que há casos de convergência e de divergência:
  1. Divergência: seja
f(x)=\frac{x}{1+x^{2}},
que é ímpar. Então
\int_{0}^{B}\frac{x}{1+x^{2}}\,dx =\frac{1}{2}\ln\bigl(1+B^{2}\bigr) \;\xrightarrow{B\to\infty}\;+\infty,
logo a integral imprópria não converge.
2. Convergência: seja
g(x)=\frac{x}{1+x^{4}},
também ímpar. Calcula-se por substituição que
\int_{0}^{\infty}\frac{x}{1+x^{4}}\,dx =\frac{\pi}{4},
e idem em (-\infty,0], de modo que a integral completa converge (e dá zero em valor principal).

Resposta

Verdadeiro.

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