Exercício 5: Considerando as integrais abaixo, assinale verdade ou falso, justificando cada resposta. (Definição: Uma função f é ímpar se está definida em um intervalo simétrico em relação à origem e se f(-x)=f(x) qualquer que seja x \in D(f).)
(iii) \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x
( ) Se a função f é ímpar, então a integral (iii) pode convergir ou divergir.
Passo 1
O enunciado trata da integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx
para uma função f ímpar (isto é, f(-x)=-f(x)) definida em todo \mathbb{R}. O tema é convergência de integrais impróprias em intervalos simétricos e a propriedade de cancelamento de funções ímpares.
Passo 2
Pela definição de integral imprópria em \mathbb{R}, dizemos que